Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80160 / 82654
↖ ↑ ↗
← S 42.484251°
E 40.166016°		 ← 225.24 m → S 42.484251°
E 40.168762°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 42.486276°
E 40.166016°		 ← 225.23 m →
50 727 m²		 S 42.486276°
E 40.168762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611576080322266 y=0.630603790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611576080322266 × 217)
    floor (0.611576080322266 × 131072)
    floor (80160.5)     		tx = 80160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630603790283203 × 217)
    floor (0.630603790283203 × 131072)
    floor (82654.5)     		ty = 82654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80160 / 82654 ti = "17/80160/82654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80160/82654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80160 ÷ 217
    80160 ÷ 131072     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82654 ÷ 217
    82654 ÷ 131072     		y = 0.630599975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.261199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820583847696121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820583847696121))-π/2
    2×atan(0.44017458455137)-π/2
    2×0.414653132388916-π/2
    0.829306264777832-1.57079632675     		φ = -0.74149006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74149006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.484251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80160 KachelY 82654 0.70102922 -0.74149006 40.166016 -42.484251
    Oben rechts KachelX + 1 80161 KachelY 82654 0.70107716 -0.74149006 40.168762 -42.484251
    Unten links KachelX 80160 KachelY + 1 82655 0.70102922 -0.74152541 40.166016 -42.486276
    Unten rechts KachelX + 1 80161 KachelY + 1 82655 0.70107716 -0.74152541 40.168762 -42.486276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74149006--0.74152541) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dl = 225.214850000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74149006--0.74152541) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dr = 225.214850000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70107716) × cos(-0.74149006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737463009852891 × 6371000     		do = 225.240185506799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70107716) × cos(-0.74152541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737439134443108 × 6371000     		du = 225.232893342098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74149006)-sin(-0.74152541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737463009852891-0.737439134443108)×R²
    abs(0.70107716-0.70102922)×2.3875409783547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3875409783547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3875409783547e-05×40589641000000     		ar = 50726.6134464641m²