Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80160 / 82461
↖ ↑ ↗
← S 42.092108°
E 40.166016°		 ← 226.65 m → S 42.092108°
E 40.168762°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 42.094146°
E 40.166016°		 ← 226.64 m →
51 361 m²		 S 42.094146°
E 40.168762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611576080322266 y=0.629131317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611576080322266 × 217)
    floor (0.611576080322266 × 131072)
    floor (80160.5)     		tx = 80160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629131317138672 × 217)
    floor (0.629131317138672 × 131072)
    floor (82461.5)     		ty = 82461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80160 / 82461 ti = "17/80160/82461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80160/82461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80160 ÷ 217
    80160 ÷ 131072     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82461 ÷ 217
    82461 ÷ 131072     		y = 0.629127502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629127502441406 × 2 - 1) × π
    -0.258255004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.81133202606945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81133202606945))-π/2
    2×atan(0.444265898160732)-π/2
    2×0.418075224349619-π/2
    0.836150448699237-1.57079632675     		φ = -0.73464588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73464588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.092108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80160 KachelY 82461 0.70102922 -0.73464588 40.166016 -42.092108
    Oben rechts KachelX + 1 80161 KachelY 82461 0.70107716 -0.73464588 40.168762 -42.092108
    Unten links KachelX 80160 KachelY + 1 82462 0.70102922 -0.73468145 40.166016 -42.094146
    Unten rechts KachelX + 1 80161 KachelY + 1 82462 0.70107716 -0.73468145 40.168762 -42.094146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73464588--0.73468145) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dl = 226.616469999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73464588--0.73468145) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dr = 226.616469999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70107716) × cos(-0.73464588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74206817520777 × 6371000     		do = 226.646721543134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70107716) × cos(-0.73468145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742044331298839 × 6371000     		du = 226.639438999605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73464588)-sin(-0.73468145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74206817520777-0.742044331298839)×R²
    abs(0.70107716-0.70102922)×2.38439089310649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38439089310649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38439089310649e-05×40589641000000     		ar = 51361.0548065125m²