Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8016 / 9648
↖ ↑ ↗
← S 30.448674°
W  3.867187°		 ← 2 106.26 m → S 30.448674°
W  3.845215°		 →
↑
2 106.06 m
↓
↑
2 106.06 m
↓
S 30.467614°
W  3.867187°		 ← 2 105.85 m →
4 435 472 m²		 S 30.467614°
W  3.845215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489288330078125 y=0.588897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489288330078125 × 214)
    floor (0.489288330078125 × 16384)
    floor (8016.5)     		tx = 8016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588897705078125 × 214)
    floor (0.588897705078125 × 16384)
    floor (9648.5)     		ty = 9648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8016 / 9648 ti = "14/8016/9648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8016/9648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8016 ÷ 214
    8016 ÷ 16384     		x = 0.4892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9648 ÷ 214
    9648 ÷ 16384     		y = 0.5888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4892578125 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5888671875 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06749515} λ = -0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558369006774414))-π/2
    2×atan(0.572141462123288)-π/2
    2×0.519683359119876-π/2
    1.03936671823975-1.57079632675     		φ = -0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8016 KachelY 9648 -0.06749515 -0.53142961 -3.867187 -30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 8017 KachelY 9648 -0.06711166 -0.53142961 -3.845215 -30.448674
    Unten links KachelX 8016 KachelY + 1 9649 -0.06749515 -0.53176018 -3.867187 -30.467614
    Unten rechts KachelX + 1 8017 KachelY + 1 9649 -0.06711166 -0.53176018 -3.845215 -30.467614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53142961--0.53176018) × R
    0.00033057000000003 × 6371000     		dl = 2106.06147000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53142961--0.53176018) × R
    0.00033057000000003 × 6371000     		dr = 2106.06147000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06749515--0.06711166) × cos(-0.53142961) × R
    0.00038349 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 2106.25509278022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06749515--0.06711166) × cos(-0.53176018) × R
    0.00038349 × 0.861915904709125 × 6371000     		du = 2105.84568612157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53142961)-sin(-0.53176018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.861915904709125)×R²
    abs(-0.06711166--0.06749515)×0.000167568836077714×R²
    0.00038349×0.000167568836077714×6371000²
    0.00038349×0.000167568836077714×40589641000000     		ar = 4435471.61949372m²