Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8016 / 7727
↖ ↑ ↗
← N 79.640862°
W135.966797°		 ← 109.84 m → N 79.640862°
W135.961303°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 79.639874°
W135.966797°		 ← 109.85 m →
12 065 m²		 N 79.639874°
W135.961303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122322082519531 y=0.117912292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122322082519531 × 216)
    floor (0.122322082519531 × 65536)
    floor (8016.5)     		tx = 8016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117912292480469 × 216)
    floor (0.117912292480469 × 65536)
    floor (7727.5)     		ty = 7727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8016 / 7727 ti = "16/8016/7727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8016/7727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8016 ÷ 216
    8016 ÷ 65536     		x = 0.122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7727 ÷ 216
    7727 ÷ 65536     		y = 0.117904663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.75537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37306828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117904663085938 × 2 - 1) × π
    0.764190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40077580677165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37306828} λ = -2.37306828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40077580677165))-π/2
    2×atan(11.0317315536743)-π/2
    2×1.48039579227174-π/2
    2.96079158454347-1.57079632675     		φ = 1.38999526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37306828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38999526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.640862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8016 KachelY 7727 -2.37306828 1.38999526 -135.966797 79.640862
    Oben rechts KachelX + 1 8017 KachelY 7727 -2.37297240 1.38999526 -135.961303 79.640862
    Unten links KachelX 8016 KachelY + 1 7728 -2.37306828 1.38997802 -135.966797 79.639874
    Unten rechts KachelX + 1 8017 KachelY + 1 7728 -2.37297240 1.38997802 -135.961303 79.639874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38999526-1.38997802) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38999526-1.38997802) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37306828--2.37297240) × cos(1.38999526) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179817640412842 × 6371000     		do = 109.84187177622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37306828--2.37297240) × cos(1.38997802) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179834599373472 × 6371000     		du = 109.85223118242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38999526)-sin(1.38997802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179817640412842-0.179834599373472)×R²
    abs(-2.37297240--2.37306828)×1.69589606299758e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.69589606299758e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.69589606299758e-05×40589641000000     		ar = 12065.1651402603m²