Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80159 / 82657
↖ ↑ ↗
← S 42.490327°
E 40.163269°		 ← 225.22 m → S 42.490327°
E 40.166016°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 42.492353°
E 40.163269°		 ← 225.21 m →
50 722 m²		 S 42.492353°
E 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611568450927734 y=0.630626678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611568450927734 × 217)
    floor (0.611568450927734 × 131072)
    floor (80159.5)     		tx = 80159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630626678466797 × 217)
    floor (0.630626678466797 × 131072)
    floor (82657.5)     		ty = 82657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80159 / 82657 ti = "17/80159/82657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80159/82657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80159 ÷ 217
    80159 ÷ 131072     		x = 0.611564636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82657 ÷ 217
    82657 ÷ 131072     		y = 0.630622863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611564636230469 × 2 - 1) × π
    0.223129272460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.70098128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630622863769531 × 2 - 1) × π
    -0.261245727539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.820727658394981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70098128} λ = 0.70098128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820727658394981))-π/2
    2×atan(0.440111287288266)-π/2
    2×0.414600107428843-π/2
    0.829200214857685-1.57079632675     		φ = -0.74159611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70098128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.163269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74159611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.490327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80159 KachelY 82657 0.70098128 -0.74159611 40.163269 -42.490327
    Oben rechts KachelX + 1 80160 KachelY 82657 0.70102922 -0.74159611 40.166016 -42.490327
    Unten links KachelX 80159 KachelY + 1 82658 0.70098128 -0.74163146 40.163269 -42.492353
    Unten rechts KachelX + 1 80160 KachelY + 1 82658 0.70102922 -0.74163146 40.166016 -42.492353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74159611--0.74163146) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74159611--0.74163146) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70098128-0.70102922) × cos(-0.74159611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737391380859009 × 6371000     		do = 225.218308168337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70098128-0.70102922) × cos(-0.74163146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737367502684754 × 6371000     		du = 225.211015159295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74159611)-sin(-0.74163146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737391380859009-0.737367502684754)×R²
    abs(0.70102922-0.70098128)×2.38781742556426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38781742556426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38781742556426e-05×40589641000000     		ar = 50721.6862495907m²