Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80158 / 82662
↖ ↑ ↗
← S 42.500453°
E 40.160523°		 ← 225.13 m → S 42.500453°
E 40.163269°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.502478°
E 40.160523°		 ← 225.13 m →
50 689 m²		 S 42.502478°
E 40.163269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611560821533203 y=0.630664825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611560821533203 × 217)
    floor (0.611560821533203 × 131072)
    floor (80158.5)     		tx = 80158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630664825439453 × 217)
    floor (0.630664825439453 × 131072)
    floor (82662.5)     		ty = 82662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80158 / 82662 ti = "17/80158/82662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80158/82662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80158 ÷ 217
    80158 ÷ 131072     		x = 0.611557006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82662 ÷ 217
    82662 ÷ 131072     		y = 0.630661010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611557006835938 × 2 - 1) × π
    0.223114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70093335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630661010742188 × 2 - 1) × π
    -0.261322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820967342893082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70093335} λ = 0.70093335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820967342893082))-π/2
    2×atan(0.440005812076156)-π/2
    2×0.414511743941106-π/2
    0.829023487882211-1.57079632675     		φ = -0.74177284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70093335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.160523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74177284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.500453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80158 KachelY 82662 0.70093335 -0.74177284 40.160523 -42.500453
    Oben rechts KachelX + 1 80159 KachelY 82662 0.70098128 -0.74177284 40.163269 -42.500453
    Unten links KachelX 80158 KachelY + 1 82663 0.70093335 -0.74180818 40.160523 -42.502478
    Unten rechts KachelX + 1 80159 KachelY + 1 82663 0.70098128 -0.74180818 40.163269 -42.502478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74177284--0.74180818) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dl = 225.151140000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74177284--0.74180818) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dr = 225.151140000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70093335-0.70098128) × cos(-0.74177284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73727199428564 × 6371000     		do = 225.134872837349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70093335-0.70098128) × cos(-0.74180818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73724811826127 × 6371000     		du = 225.127582006079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74177284)-sin(-0.74180818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73727199428564-0.73724811826127)×R²
    abs(0.70098128-0.70093335)×2.38760243701508e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38760243701508e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38760243701508e-05×40589641000000     		ar = 50688.5525090884m²