Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80157 / 82219
↖ ↑ ↗
← S 41.596959°
E 40.157776°		 ← 228.41 m → S 41.596959°
E 40.160523°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.599013°
E 40.157776°		 ← 228.40 m →
52 153 m²		 S 41.599013°
E 40.160523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611553192138672 y=0.627285003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611553192138672 × 217)
    floor (0.611553192138672 × 131072)
    floor (80157.5)     		tx = 80157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627285003662109 × 217)
    floor (0.627285003662109 × 131072)
    floor (82219.5)     		ty = 82219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80157 / 82219 ti = "17/80157/82219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80157/82219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80157 ÷ 217
    80157 ÷ 131072     		x = 0.611549377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82219 ÷ 217
    82219 ÷ 131072     		y = 0.627281188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611549377441406 × 2 - 1) × π
    0.223098754882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.70088541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627281188964844 × 2 - 1) × π
    -0.254562377929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.799731296361397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70088541} λ = 0.70088541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799731296361397))-π/2
    2×atan(0.449449716667408)-π/2
    2×0.422396215832881-π/2
    0.844792431665763-1.57079632675     		φ = -0.72600390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70088541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.157776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72600390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.596959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80157 KachelY 82219 0.70088541 -0.72600390 40.157776 -41.596959
    Oben rechts KachelX + 1 80158 KachelY 82219 0.70093335 -0.72600390 40.160523 -41.596959
    Unten links KachelX 80157 KachelY + 1 82220 0.70088541 -0.72603974 40.157776 -41.599013
    Unten rechts KachelX + 1 80158 KachelY + 1 82220 0.70093335 -0.72603974 40.160523 -41.599013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72600390--0.72603974) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72600390--0.72603974) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70088541-0.70093335) × cos(-0.72600390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747833323232577 × 6371000     		do = 228.407546144819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70088541-0.70093335) × cos(-0.72603974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747809529059158 × 6371000     		du = 228.400278791795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72600390)-sin(-0.72603974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747833323232577-0.747809529059158)×R²
    abs(0.70093335-0.70088541)×2.37941734188007e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37941734188007e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37941734188007e-05×40589641000000     		ar = 52152.9819413519m²