Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80156 / 82221
↖ ↑ ↗
← S 41.601067°
E 40.155029°		 ← 228.39 m → S 41.601067°
E 40.157776°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 41.603121°
E 40.155029°		 ← 228.39 m →
52 164 m²		 S 41.603121°
E 40.157776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611545562744141 y=0.627300262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611545562744141 × 217)
    floor (0.611545562744141 × 131072)
    floor (80156.5)     		tx = 80156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627300262451172 × 217)
    floor (0.627300262451172 × 131072)
    floor (82221.5)     		ty = 82221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80156 / 82221 ti = "17/80156/82221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80156/82221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80156 ÷ 217
    80156 ÷ 131072     		x = 0.611541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82221 ÷ 217
    82221 ÷ 131072     		y = 0.627296447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611541748046875 × 2 - 1) × π
    0.22308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70083747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627296447753906 × 2 - 1) × π
    -0.254592895507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.799827170160637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70083747} λ = 0.70083747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799827170160637))-π/2
    2×atan(0.44940662828106)-π/2
    2×0.422360368162661-π/2
    0.844720736325322-1.57079632675     		φ = -0.72607559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70083747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.155029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72607559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.601067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80156 KachelY 82221 0.70083747 -0.72607559 40.155029 -41.601067
    Oben rechts KachelX + 1 80157 KachelY 82221 0.70088541 -0.72607559 40.157776 -41.601067
    Unten links KachelX 80156 KachelY + 1 82222 0.70083747 -0.72611144 40.155029 -41.603121
    Unten rechts KachelX + 1 80157 KachelY + 1 82222 0.70088541 -0.72611144 40.157776 -41.603121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72607559--0.72611144) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dl = 228.400350000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72607559--0.72611144) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dr = 228.400350000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70083747-0.70088541) × cos(-0.72607559) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.747785727285772 × 6371000     		do = 228.393009118074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70083747-0.70088541) × cos(-0.72611144) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		du = 228.385739150289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72607559)-sin(-0.72611144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747785727285772-0.747761924551316)×R²
    abs(0.70088541-0.70083747)×2.38027344566794e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38027344566794e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38027344566794e-05×40589641000000     		ar = 52164.2129941686m²