Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80154 / 82404
↖ ↑ ↗
← S 41.975827°
E 40.149536°		 ← 227.06 m → S 41.975827°
E 40.152283°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
S 41.977869°
E 40.149536°		 ← 227.05 m →
51 556 m²		 S 41.977869°
E 40.152283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611530303955078 y=0.628696441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611530303955078 × 217)
    floor (0.611530303955078 × 131072)
    floor (80154.5)     		tx = 80154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628696441650391 × 217)
    floor (0.628696441650391 × 131072)
    floor (82404.5)     		ty = 82404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80154 / 82404 ti = "17/80154/82404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80154/82404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80154 ÷ 217
    80154 ÷ 131072     		x = 0.611526489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82404 ÷ 217
    82404 ÷ 131072     		y = 0.628692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611526489257812 × 2 - 1) × π
    0.223052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70074160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.808599622791107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70074160} λ = 0.70074160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808599622791107))-π/2
    2×atan(0.445481471719619)-π/2
    2×0.419089967429393-π/2
    0.838179934858786-1.57079632675     		φ = -0.73261639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70074160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.149536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73261639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.975827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80154 KachelY 82404 0.70074160 -0.73261639 40.149536 -41.975827
    Oben rechts KachelX + 1 80155 KachelY 82404 0.70078954 -0.73261639 40.152283 -41.975827
    Unten links KachelX 80154 KachelY + 1 82405 0.70074160 -0.73265203 40.149536 -41.977869
    Unten rechts KachelX + 1 80155 KachelY + 1 82405 0.70078954 -0.73265203 40.152283 -41.977869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73261639--0.73265203) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dl = 227.062440000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73261639--0.73265203) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dr = 227.062440000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70074160-0.70078954) × cos(-0.73261639) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743427062748227 × 6371000     		do = 227.061760776281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70074160-0.70078954) × cos(-0.73265203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743403225637588 × 6371000     		du = 227.054480309124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73261639)-sin(-0.73265203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743427062748227-0.743403225637588)×R²
    abs(0.70078954-0.70074160)×2.38371106388025e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38371106388025e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38371106388025e-05×40589641000000     		ar = 51556.3708776917m²