Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80153 / 82402
↖ ↑ ↗
← S 41.971743°
E 40.146789°		 ← 227.08 m → S 41.971743°
E 40.149536°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
S 41.973785°
E 40.146789°		 ← 227.07 m →
51 560 m²		 S 41.973785°
E 40.149536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611522674560547 y=0.628681182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611522674560547 × 217)
    floor (0.611522674560547 × 131072)
    floor (80153.5)     		tx = 80153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628681182861328 × 217)
    floor (0.628681182861328 × 131072)
    floor (82402.5)     		ty = 82402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80153 / 82402 ti = "17/80153/82402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80153/82402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80153 ÷ 217
    80153 ÷ 131072     		x = 0.611518859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82402 ÷ 217
    82402 ÷ 131072     		y = 0.628677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611518859863281 × 2 - 1) × π
    0.223037719726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.70069366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.257354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.808503748991867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70069366} λ = 0.70069366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808503748991867))-π/2
    2×atan(0.445524183768254)-π/2
    2×0.419125606160384-π/2
    0.838251212320769-1.57079632675     		φ = -0.73254511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70069366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.146789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73254511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.971743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80153 KachelY 82402 0.70069366 -0.73254511 40.146789 -41.971743
    Oben rechts KachelX + 1 80154 KachelY 82402 0.70074160 -0.73254511 40.149536 -41.971743
    Unten links KachelX 80153 KachelY + 1 82403 0.70069366 -0.73258075 40.146789 -41.973785
    Unten rechts KachelX + 1 80154 KachelY + 1 82403 0.70074160 -0.73258075 40.149536 -41.973785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73254511--0.73258075) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dl = 227.062440000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73254511--0.73258075) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dr = 227.062440000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70069366-0.70074160) × cos(-0.73254511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74347473413655 × 6371000     		do = 227.07632084481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70069366-0.70074160) × cos(-0.73258075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743450898914557 × 6371000     		du = 227.069040954495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73254511)-sin(-0.73258075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74347473413655-0.743450898914557)×R²
    abs(0.70074160-0.70069366)×2.3835221992119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3835221992119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3835221992119e-05×40589641000000     		ar = 51559.676988029m²