Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8015 / 7729
↖ ↑ ↗
← N 79.638886°
W135.972290°		 ← 109.85 m → N 79.638886°
W135.966797°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 79.637898°
W135.972290°		 ← 109.86 m →
12 066 m²		 N 79.637898°
W135.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122306823730469 y=0.117942810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122306823730469 × 216)
    floor (0.122306823730469 × 65536)
    floor (8015.5)     		tx = 8015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117942810058594 × 216)
    floor (0.117942810058594 × 65536)
    floor (7729.5)     		ty = 7729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8015 / 7729 ti = "16/8015/7729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8015/7729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8015 ÷ 216
    8015 ÷ 65536     		x = 0.122299194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7729 ÷ 216
    7729 ÷ 65536     		y = 0.117935180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.755401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37316415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117935180664062 × 2 - 1) × π
    0.764129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40058405917317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37316415} λ = -2.37316415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40058405917317))-π/2
    2×atan(11.0296164484315)-π/2
    2×1.48037855084516-π/2
    2.96075710169033-1.57079632675     		φ = 1.38996077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37316415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.972290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38996077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.638886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8015 KachelY 7729 -2.37316415 1.38996077 -135.972290 79.638886
    Oben rechts KachelX + 1 8016 KachelY 7729 -2.37306828 1.38996077 -135.966797 79.638886
    Unten links KachelX 8015 KachelY + 1 7730 -2.37316415 1.38994353 -135.972290 79.637898
    Unten rechts KachelX + 1 8016 KachelY + 1 7730 -2.37306828 1.38994353 -135.966797 79.637898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38996077-1.38994353) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38996077-1.38994353) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37316415--2.37306828) × cos(1.38996077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179851568117589 × 6371000     		do = 109.851138221543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37316415--2.37306828) × cos(1.38994353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179868526971283 × 6371000     		du = 109.861496481972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38996077)-sin(1.38994353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179851568117589-0.179868526971283)×R²
    abs(-2.37306828--2.37316415)×1.69588536939047e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69588536939047e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69588536939047e-05×40589641000000     		ar = 12066.1828672949m²