Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80149 / 82321
↖ ↑ ↗
← S 41.806126°
E 40.135803°		 ← 227.67 m → S 41.806126°
E 40.138550°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 41.808173°
E 40.135803°		 ← 227.66 m →
51 824 m²		 S 41.808173°
E 40.138550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611492156982422 y=0.628063201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611492156982422 × 217)
    floor (0.611492156982422 × 131072)
    floor (80149.5)     		tx = 80149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628063201904297 × 217)
    floor (0.628063201904297 × 131072)
    floor (82321.5)     		ty = 82321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80149 / 82321 ti = "17/80149/82321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80149/82321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80149 ÷ 217
    80149 ÷ 131072     		x = 0.611488342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82321 ÷ 217
    82321 ÷ 131072     		y = 0.628059387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611488342285156 × 2 - 1) × π
    0.222976684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.70050191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628059387207031 × 2 - 1) × π
    -0.256118774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.804620860122643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70050191} λ = 0.70050191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804620860122643))-π/2
    2×atan(0.447257467558846)-π/2
    2×0.42057089473527-π/2
    0.84114178947054-1.57079632675     		φ = -0.72965454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70050191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.135803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72965454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.806126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80149 KachelY 82321 0.70050191 -0.72965454 40.135803 -41.806126
    Oben rechts KachelX + 1 80150 KachelY 82321 0.70054985 -0.72965454 40.138550 -41.806126
    Unten links KachelX 80149 KachelY + 1 82322 0.70050191 -0.72969027 40.135803 -41.808173
    Unten rechts KachelX + 1 80150 KachelY + 1 82322 0.70054985 -0.72969027 40.138550 -41.808173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72965454--0.72969027) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72965454--0.72969027) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70050191-0.70054985) × cos(-0.72965454) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.745404734658867 × 6371000     		do = 227.665792683066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70050191-0.70054985) × cos(-0.72969027) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.745380916130332 × 6371000     		du = 227.658517891362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72965454)-sin(-0.72969027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745404734658867-0.745380916130332)×R²
    abs(0.70054985-0.70050191)×2.38185285353909e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38185285353909e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38185285353909e-05×40589641000000     		ar = 51824.0636839172m²