Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80142 / 82636
↖ ↑ ↗
← S 42.447782°
E 40.116577°		 ← 225.32 m → S 42.447782°
E 40.119324°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.449808°
E 40.116577°		 ← 225.32 m →
50 774 m²		 S 42.449808°
E 40.119324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611438751220703 y=0.630466461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611438751220703 × 217)
    floor (0.611438751220703 × 131072)
    floor (80142.5)     		tx = 80142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630466461181641 × 217)
    floor (0.630466461181641 × 131072)
    floor (82636.5)     		ty = 82636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80142 / 82636 ti = "17/80142/82636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80142/82636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80142 ÷ 217
    80142 ÷ 131072     		x = 0.611434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82636 ÷ 217
    82636 ÷ 131072     		y = 0.630462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611434936523438 × 2 - 1) × π
    0.222869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70016636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.26092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81972098350296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70016636} λ = 0.70016636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81972098350296))-π/2
    2×atan(0.440554559348867)-π/2
    2×0.414971390305551-π/2
    0.829942780611101-1.57079632675     		φ = -0.74085355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70016636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.116577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74085355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.447782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80142 KachelY 82636 0.70016636 -0.74085355 40.116577 -42.447782
    Oben rechts KachelX + 1 80143 KachelY 82636 0.70021429 -0.74085355 40.119324 -42.447782
    Unten links KachelX 80142 KachelY + 1 82637 0.70016636 -0.74088892 40.116577 -42.449808
    Unten rechts KachelX + 1 80143 KachelY + 1 82637 0.70021429 -0.74088892 40.119324 -42.449808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74085355--0.74088892) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74085355--0.74088892) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70016636-0.70021429) × cos(-0.74085355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		do = 225.324428473978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70016636-0.70021429) × cos(-0.74088892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.737868879037053 × 6371000     		du = 225.317138776717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74085355)-sin(-0.74088892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73789275134777-0.737868879037053)×R²
    abs(0.70021429-0.70016636)×2.3872310716988e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3872310716988e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3872310716988e-05×40589641000000     		ar = 50774.2968655585m²