Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80141 / 82324
↖ ↑ ↗
← S 41.812267°
E 40.113831°		 ← 227.64 m → S 41.812267°
E 40.116577°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 41.814314°
E 40.113831°		 ← 227.64 m →
51 819 m²		 S 41.814314°
E 40.116577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611431121826172 y=0.628086090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611431121826172 × 217)
    floor (0.611431121826172 × 131072)
    floor (80141.5)     		tx = 80141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628086090087891 × 217)
    floor (0.628086090087891 × 131072)
    floor (82324.5)     		ty = 82324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80141 / 82324 ti = "17/80141/82324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80141/82324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80141 ÷ 217
    80141 ÷ 131072     		x = 0.611427307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82324 ÷ 217
    82324 ÷ 131072     		y = 0.628082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611427307128906 × 2 - 1) × π
    0.222854614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.70011842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.25616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804764670821503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70011842} λ = 0.70011842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804764670821503))-π/2
    2×atan(0.447193151774626)-π/2
    2×0.42051729871639-π/2
    0.841034597432779-1.57079632675     		φ = -0.72976173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70011842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.113831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72976173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.812267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80141 KachelY 82324 0.70011842 -0.72976173 40.113831 -41.812267
    Oben rechts KachelX + 1 80142 KachelY 82324 0.70016636 -0.72976173 40.116577 -41.812267
    Unten links KachelX 80141 KachelY + 1 82325 0.70011842 -0.72979746 40.113831 -41.814314
    Unten rechts KachelX + 1 80142 KachelY + 1 82325 0.70016636 -0.72979746 40.116577 -41.814314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72976173--0.72979746) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72976173--0.72979746) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70011842-0.70016636) × cos(-0.72976173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745333276218558 × 6371000     		do = 227.643967435528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70011842-0.70016636) × cos(-0.72979746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74530945483538 × 6371000     		du = 227.636691771943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72976173)-sin(-0.72979746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745333276218558-0.74530945483538)×R²
    abs(0.70016636-0.70011842)×2.38213831776912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38213831776912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38213831776912e-05×40589641000000     		ar = 51819.0953763888m²