Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80140 / 18898
↖ ↑ ↗
← N 77.794323°
E 40.111084°		 ← 64.57 m → N 77.794323°
E 40.113831°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.793742°
E 40.111084°		 ← 64.58 m →
4 168 m²		 N 77.793742°
E 40.113831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611423492431641 y=0.144184112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611423492431641 × 217)
    floor (0.611423492431641 × 131072)
    floor (80140.5)     		tx = 80140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144184112548828 × 217)
    floor (0.144184112548828 × 131072)
    floor (18898.5)     		ty = 18898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80140 / 18898 ti = "17/80140/18898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80140/18898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80140 ÷ 217
    80140 ÷ 131072     		x = 0.611419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18898 ÷ 217
    18898 ÷ 131072     		y = 0.144180297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611419677734375 × 2 - 1) × π
    0.22283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70007048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144180297851562 × 2 - 1) × π
    0.711639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23568112448018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70007048} λ = 0.70007048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23568112448018))-π/2
    2×atan(9.3528501383413)-π/2
    2×1.46428169936406-π/2
    2.92856339872812-1.57079632675     		φ = 1.35776707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70007048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.111084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35776707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.794323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80140 KachelY 18898 0.70007048 1.35776707 40.111084 77.794323
    Oben rechts KachelX + 1 80141 KachelY 18898 0.70011842 1.35776707 40.113831 77.794323
    Unten links KachelX 80140 KachelY + 1 18899 0.70007048 1.35775694 40.111084 77.793742
    Unten rechts KachelX + 1 80141 KachelY + 1 18899 0.70011842 1.35775694 40.113831 77.793742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35776707-1.35775694) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35776707-1.35775694) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70007048-0.70011842) × cos(1.35776707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211421645654346 × 6371000     		do = 64.5736125759542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70007048-0.70011842) × cos(1.35775694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211431546654339 × 6371000     		du = 64.5766365962037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35776707)-sin(1.35775694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211421645654346-0.211431546654339)×R²
    abs(0.70011842-0.70007048)×9.90099999276239e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90099999276239e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90099999276239e-06×40589641000000     		ar = 4167.56424293405m²