Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8014 / 9649
↖ ↑ ↗
← S 30.467614°
W  3.911133°		 ← 2 105.90 m → S 30.467614°
W  3.889160°		 →
↑
2 105.68 m
↓
↑
2 105.68 m
↓
S 30.486551°
W  3.911133°		 ← 2 105.49 m →
4 433 920 m²		 S 30.486551°
W  3.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489166259765625 y=0.588958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489166259765625 × 214)
    floor (0.489166259765625 × 16384)
    floor (8014.5)     		tx = 8014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588958740234375 × 214)
    floor (0.588958740234375 × 16384)
    floor (9649.5)     		ty = 9649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8014 / 9649 ti = "14/8014/9649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8014/9649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8014 ÷ 214
    8014 ÷ 16384     		x = 0.4891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9649 ÷ 214
    9649 ÷ 16384     		y = 0.58892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06826215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.558752501971374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06826215} λ = -0.06826215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558752501971374))-π/2
    2×atan(0.571922090687216)-π/2
    2×0.519518072748603-π/2
    1.03903614549721-1.57079632675     		φ = -0.53176018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06826215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53176018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.467614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8014 KachelY 9649 -0.06826215 -0.53176018 -3.911133 -30.467614
    Oben rechts KachelX + 1 8015 KachelY 9649 -0.06787865 -0.53176018 -3.889160 -30.467614
    Unten links KachelX 8014 KachelY + 1 9650 -0.06826215 -0.53209069 -3.911133 -30.486551
    Unten rechts KachelX + 1 8015 KachelY + 1 9650 -0.06787865 -0.53209069 -3.889160 -30.486551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53176018--0.53209069) × R
    0.000330509999999951 × 6371000     		dl = 2105.67920999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53176018--0.53209069) × R
    0.000330509999999951 × 6371000     		dr = 2105.67920999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06826215--0.06787865) × cos(-0.53176018) × R
    0.000383499999999995 × 0.861915904709125 × 6371000     		do = 2105.90059878383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06826215--0.06787865) × cos(-0.53209069) × R
    0.000383499999999995 × 0.861748272126041 × 6371000     		du = 2105.49102569768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53176018)-sin(-0.53209069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861915904709125-0.861748272126041)×R²
    abs(-0.06787865--0.06826215)×0.000167632583084276×R²
    0.000383499999999995×0.000167632583084276×6371000²
    0.000383499999999995×0.000167632583084276×40589641000000     		ar = 4433919.93477964m²