Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80138 / 82310
↖ ↑ ↗
← S 41.783601°
E 40.105591°		 ← 227.75 m → S 41.783601°
E 40.108338°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 41.785649°
E 40.105591°		 ← 227.74 m →
51 871 m²		 S 41.785649°
E 40.108338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611408233642578 y=0.627979278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611408233642578 × 217)
    floor (0.611408233642578 × 131072)
    floor (80138.5)     		tx = 80138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627979278564453 × 217)
    floor (0.627979278564453 × 131072)
    floor (82310.5)     		ty = 82310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80138 / 82310 ti = "17/80138/82310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80138/82310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80138 ÷ 217
    80138 ÷ 131072     		x = 0.611404418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82310 ÷ 217
    82310 ÷ 131072     		y = 0.627975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611404418945312 × 2 - 1) × π
    0.222808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69997461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.255950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.804093554226822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69997461} λ = 0.69997461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804093554226822))-π/2
    2×atan(0.447493371249677)-π/2
    2×0.420767457431065-π/2
    0.84153491486213-1.57079632675     		φ = -0.72926141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69997461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.105591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72926141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.783601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80138 KachelY 82310 0.69997461 -0.72926141 40.105591 -41.783601
    Oben rechts KachelX + 1 80139 KachelY 82310 0.70002255 -0.72926141 40.108338 -41.783601
    Unten links KachelX 80138 KachelY + 1 82311 0.69997461 -0.72929716 40.105591 -41.785649
    Unten rechts KachelX + 1 80139 KachelY + 1 82311 0.70002255 -0.72929716 40.108338 -41.785649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72926141--0.72929716) × R
    3.57500000000011e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72926141--0.72929716) × R
    3.57500000000011e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69997461-0.70002255) × cos(-0.72926141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745666742291838 × 6371000     		do = 227.745816557725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69997461-0.70002255) × cos(-0.72929716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745642920908415 × 6371000     		du = 227.738540894065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72926141)-sin(-0.72929716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745666742291838-0.745642920908415)×R²
    abs(0.70002255-0.69997461)×2.38213834233836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38213834233836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38213834233836e-05×40589641000000     		ar = 51871.2987941983m²