Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80136 / 82313
↖ ↑ ↗
← S 41.789745°
E 40.100097°		 ← 227.72 m → S 41.789745°
E 40.102844°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 41.791793°
E 40.100097°		 ← 227.72 m →
51 852 m²		 S 41.791793°
E 40.102844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611392974853516 y=0.628002166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611392974853516 × 217)
    floor (0.611392974853516 × 131072)
    floor (80136.5)     		tx = 80136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628002166748047 × 217)
    floor (0.628002166748047 × 131072)
    floor (82313.5)     		ty = 82313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80136 / 82313 ti = "17/80136/82313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80136/82313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80136 ÷ 217
    80136 ÷ 131072     		x = 0.61138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82313 ÷ 217
    82313 ÷ 131072     		y = 0.627998352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69987873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627998352050781 × 2 - 1) × π
    -0.255996704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.804237364925682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69987873} λ = 0.69987873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804237364925682))-π/2
    2×atan(0.447429021542421)-π/2
    2×0.420713842572429-π/2
    0.841427685144857-1.57079632675     		φ = -0.72936864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69987873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.100097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72936864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.789745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80136 KachelY 82313 0.69987873 -0.72936864 40.100097 -41.789745
    Oben rechts KachelX + 1 80137 KachelY 82313 0.69992667 -0.72936864 40.102844 -41.789745
    Unten links KachelX 80136 KachelY + 1 82314 0.69987873 -0.72940438 40.100097 -41.791793
    Unten rechts KachelX + 1 80137 KachelY + 1 82314 0.69992667 -0.72940438 40.102844 -41.791793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72936864--0.72940438) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72936864--0.72940438) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69987873-0.69992667) × cos(-0.72936864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745595288610645 × 6371000     		do = 227.72399276427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69987873-0.69992667) × cos(-0.72940438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745571471033168 × 6371000     		du = 227.716718263045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72936864)-sin(-0.72940438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745595288610645-0.745571471033168)×R²
    abs(0.69992667-0.69987873)×2.38175774768257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38175774768257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38175774768257e-05×40589641000000     		ar = 51851.8202044002m²