Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80136 / 18900
↖ ↑ ↗
← N 77.793161°
E 40.100097°		 ← 64.58 m → N 77.793161°
E 40.102844°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.792581°
E 40.100097°		 ← 64.58 m →
4 168 m²		 N 77.792581°
E 40.102844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611392974853516 y=0.144199371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611392974853516 × 217)
    floor (0.611392974853516 × 131072)
    floor (80136.5)     		tx = 80136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144199371337891 × 217)
    floor (0.144199371337891 × 131072)
    floor (18900.5)     		ty = 18900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80136 / 18900 ti = "17/80136/18900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80136/18900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80136 ÷ 217
    80136 ÷ 131072     		x = 0.61138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18900 ÷ 217
    18900 ÷ 131072     		y = 0.144195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69987873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144195556640625 × 2 - 1) × π
    0.71160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23558525068094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69987873} λ = 0.69987873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23558525068094))-π/2
    2×atan(9.35195348804814)-π/2
    2×1.46427156399108-π/2
    2.92854312798216-1.57079632675     		φ = 1.35774680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69987873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.100097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35774680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.793161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80136 KachelY 18900 0.69987873 1.35774680 40.100097 77.793161
    Oben rechts KachelX + 1 80137 KachelY 18900 0.69992667 1.35774680 40.102844 77.793161
    Unten links KachelX 80136 KachelY + 1 18901 0.69987873 1.35773667 40.100097 77.792581
    Unten rechts KachelX + 1 80137 KachelY + 1 18901 0.69992667 1.35773667 40.102844 77.792581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35774680-1.35773667) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35774680-1.35773667) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69987873-0.69992667) × cos(1.35774680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211441457406542 × 6371000     		do = 64.5796635950293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69987873-0.69992667) × cos(1.35773667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21145135836312 × 6371000     		du = 64.5826876020187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35774680)-sin(1.35773667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211441457406542-0.21145135836312)×R²
    abs(0.69992667-0.69987873)×9.90095657746326e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90095657746326e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90095657746326e-06×40589641000000     		ar = 4167.95476450055m²