Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80135 / 82406
↖ ↑ ↗
← S 41.979911°
E 40.097351°		 ← 227 m → S 41.979911°
E 40.100097°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
S 41.981953°
E 40.097351°		 ← 226.99 m →
51 542 m²		 S 41.981953°
E 40.100097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611385345458984 y=0.628711700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611385345458984 × 217)
    floor (0.611385345458984 × 131072)
    floor (80135.5)     		tx = 80135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628711700439453 × 217)
    floor (0.628711700439453 × 131072)
    floor (82406.5)     		ty = 82406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80135 / 82406 ti = "17/80135/82406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80135/82406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80135 ÷ 217
    80135 ÷ 131072     		x = 0.611381530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82406 ÷ 217
    82406 ÷ 131072     		y = 0.628707885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611381530761719 × 2 - 1) × π
    0.222763061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69983080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628707885742188 × 2 - 1) × π
    -0.257415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808695496590347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69983080} λ = 0.69983080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808695496590347))-π/2
    2×atan(0.445438763765754)-π/2
    2×0.419054330983556-π/2
    0.838108661967113-1.57079632675     		φ = -0.73268766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69983080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.097351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73268766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.979911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80135 KachelY 82406 0.69983080 -0.73268766 40.097351 -41.979911
    Oben rechts KachelX + 1 80136 KachelY 82406 0.69987873 -0.73268766 40.100097 -41.979911
    Unten links KachelX 80135 KachelY + 1 82407 0.69983080 -0.73272330 40.097351 -41.981953
    Unten rechts KachelX + 1 80136 KachelY + 1 82407 0.69987873 -0.73272330 40.100097 -41.981953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73268766--0.73272330) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dl = 227.062440000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73268766--0.73272330) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dr = 227.062440000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69983080-0.69987873) × cos(-0.73268766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743379394271371 × 6371000     		do = 226.999840895015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69983080-0.69987873) × cos(-0.73272330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743355555272472 × 6371000     		du = 226.992561369918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73268766)-sin(-0.73272330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743379394271371-0.743355555272472)×R²
    abs(0.69987873-0.69983080)×2.38389988993504e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38389988993504e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38389988993504e-05×40589641000000     		ar = 51542.3113054409m²