Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80135 / 82314
↖ ↑ ↗
← S 41.791793°
E 40.097351°		 ← 227.67 m → S 41.791793°
E 40.100097°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 41.793840°
E 40.097351°		 ← 227.66 m →
51 839 m²		 S 41.793840°
E 40.100097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611385345458984 y=0.628009796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611385345458984 × 217)
    floor (0.611385345458984 × 131072)
    floor (80135.5)     		tx = 80135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628009796142578 × 217)
    floor (0.628009796142578 × 131072)
    floor (82314.5)     		ty = 82314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80135 / 82314 ti = "17/80135/82314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80135/82314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80135 ÷ 217
    80135 ÷ 131072     		x = 0.611381530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82314 ÷ 217
    82314 ÷ 131072     		y = 0.628005981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611381530761719 × 2 - 1) × π
    0.222763061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69983080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628005981445312 × 2 - 1) × π
    -0.256011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.804285301825302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69983080} λ = 0.69983080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804285301825302))-π/2
    2×atan(0.447407573696404)-π/2
    2×0.420695972094644-π/2
    0.841391944189288-1.57079632675     		φ = -0.72940438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69983080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.097351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72940438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.791793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80135 KachelY 82314 0.69983080 -0.72940438 40.097351 -41.791793
    Oben rechts KachelX + 1 80136 KachelY 82314 0.69987873 -0.72940438 40.100097 -41.791793
    Unten links KachelX 80135 KachelY + 1 82315 0.69983080 -0.72944012 40.097351 -41.793840
    Unten rechts KachelX + 1 80136 KachelY + 1 82315 0.69987873 -0.72944012 40.100097 -41.793840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72940438--0.72944012) × R
    3.57400000000618e-05 × 6371000     		dl = 227.699540000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72940438--0.72944012) × R
    3.57400000000618e-05 × 6371000     		dr = 227.699540000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69983080-0.69987873) × cos(-0.72940438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745571471033168 × 6371000     		do = 227.669217904914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69983080-0.69987873) × cos(-0.72944012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745547652503337 × 6371000     		du = 227.661944630293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72940438)-sin(-0.72944012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745571471033168-0.745547652503337)×R²
    abs(0.69987873-0.69983080)×2.38185298307991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38185298307991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38185298307991e-05×40589641000000     		ar = 51839.3481341048m²