Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80134 / 83762
↖ ↑ ↗
← S 44.688183°
E 40.094604°		 ← 217.14 m → S 44.688183°
E 40.097351°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 44.690136°
E 40.094604°		 ← 217.13 m →
47 146 m²		 S 44.690136°
E 40.097351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611377716064453 y=0.639057159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611377716064453 × 217)
    floor (0.611377716064453 × 131072)
    floor (80134.5)     		tx = 80134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639057159423828 × 217)
    floor (0.639057159423828 × 131072)
    floor (83762.5)     		ty = 83762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80134 / 83762 ti = "17/80134/83762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80134/83762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80134 ÷ 217
    80134 ÷ 131072     		x = 0.611373901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83762 ÷ 217
    83762 ÷ 131072     		y = 0.639053344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611373901367188 × 2 - 1) × π
    0.222747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69978286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639053344726562 × 2 - 1) × π
    -0.278106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.873697932475143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69978286} λ = 0.69978286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873697932475143))-π/2
    2×atan(0.41740515569983)-π/2
    2×0.395420199774456-π/2
    0.790840399548912-1.57079632675     		φ = -0.77995593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69978286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.094604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77995593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.688183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80134 KachelY 83762 0.69978286 -0.77995593 40.094604 -44.688183
    Oben rechts KachelX + 1 80135 KachelY 83762 0.69983080 -0.77995593 40.097351 -44.688183
    Unten links KachelX 80134 KachelY + 1 83763 0.69978286 -0.77999001 40.094604 -44.690136
    Unten rechts KachelX + 1 80135 KachelY + 1 83763 0.69983080 -0.77999001 40.097351 -44.690136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77995593--0.77999001) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77995593--0.77999001) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69978286-0.69983080) × cos(-0.77995593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.710944530845916 × 6371000     		do = 217.140759432424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69978286-0.69983080) × cos(-0.77999001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7109205637382 × 6371000     		du = 217.133439260815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77995593)-sin(-0.77999001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710944530845916-0.7109205637382)×R²
    abs(0.69983080-0.69978286)×2.39671077153503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39671077153503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39671077153503e-05×40589641000000     		ar = 47145.6060792919m²