Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80132 / 18897
↖ ↑ ↗
← N 77.794904°
E 40.089112°		 ← 64.56 m → N 77.794904°
E 40.091858°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.794323°
E 40.089112°		 ← 64.56 m →
4 171 m²		 N 77.794323°
E 40.091858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611362457275391 y=0.144176483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611362457275391 × 217)
    floor (0.611362457275391 × 131072)
    floor (80132.5)     		tx = 80132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144176483154297 × 217)
    floor (0.144176483154297 × 131072)
    floor (18897.5)     		ty = 18897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80132 / 18897 ti = "17/80132/18897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80132/18897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80132 ÷ 217
    80132 ÷ 131072     		x = 0.611358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18897 ÷ 217
    18897 ÷ 131072     		y = 0.144172668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611358642578125 × 2 - 1) × π
    0.22271728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69968699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144172668457031 × 2 - 1) × π
    0.711654663085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.2357290613798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69968699} λ = 0.69968699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2357290613798))-π/2
    2×atan(9.35329849572589)-π/2
    2×1.46428676669441-π/2
    2.92857353338881-1.57079632675     		φ = 1.35777721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69968699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.089112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35777721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.794904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80132 KachelY 18897 0.69968699 1.35777721 40.089112 77.794904
    Oben rechts KachelX + 1 80133 KachelY 18897 0.69973492 1.35777721 40.091858 77.794904
    Unten links KachelX 80132 KachelY + 1 18898 0.69968699 1.35776707 40.089112 77.794323
    Unten rechts KachelX + 1 80133 KachelY + 1 18898 0.69973492 1.35776707 40.091858 77.794323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35777721-1.35776707) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35777721-1.35776707) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69968699-0.69973492) × cos(1.35777721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211411734858687 × 6371000     		do = 64.55711652231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69968699-0.69973492) × cos(1.35776707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211421645654346 × 6371000     		du = 64.5601429029914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35777721)-sin(1.35776707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211411734858687-0.211421645654346)×R²
    abs(0.69973492-0.69968699)×9.91079565929032e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91079565929032e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91079565929032e-06×40589641000000     		ar = 4170.61272320661m²