Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80131 / 83681
↖ ↑ ↗
← S 44.529801°
E 40.086365°		 ← 217.73 m → S 44.529801°
E 40.089112°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.531759°
E 40.086365°		 ← 217.73 m →
47 399 m²		 S 44.531759°
E 40.089112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611354827880859 y=0.638439178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611354827880859 × 217)
    floor (0.611354827880859 × 131072)
    floor (80131.5)     		tx = 80131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638439178466797 × 217)
    floor (0.638439178466797 × 131072)
    floor (83681.5)     		ty = 83681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80131 / 83681 ti = "17/80131/83681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80131/83681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80131 ÷ 217
    80131 ÷ 131072     		x = 0.611351013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83681 ÷ 217
    83681 ÷ 131072     		y = 0.638435363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611351013183594 × 2 - 1) × π
    0.222702026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69963905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638435363769531 × 2 - 1) × π
    -0.276870727539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.869815043605919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69963905} λ = 0.69963905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869815043605919))-π/2
    2×atan(0.419029044181853)-π/2
    2×0.396802343529986-π/2
    0.793604687059971-1.57079632675     		φ = -0.77719164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69963905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.086365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77719164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.529801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80131 KachelY 83681 0.69963905 -0.77719164 40.086365 -44.529801
    Oben rechts KachelX + 1 80132 KachelY 83681 0.69968699 -0.77719164 40.089112 -44.529801
    Unten links KachelX 80131 KachelY + 1 83682 0.69963905 -0.77722581 40.086365 -44.531759
    Unten rechts KachelX + 1 80132 KachelY + 1 83682 0.69968699 -0.77722581 40.089112 -44.531759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77719164--0.77722581) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dl = 217.697070000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77719164--0.77722581) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dr = 217.697070000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69963905-0.69968699) × cos(-0.77719164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71288579376067 × 6371000     		do = 217.733671094697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69963905-0.69968699) × cos(-0.77722581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712861830601861 × 6371000     		du = 217.726352129185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77719164)-sin(-0.77722581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71288579376067-0.712861830601861)×R²
    abs(0.69968699-0.69963905)×2.39631588088152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39631588088152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39631588088152e-05×40589641000000     		ar = 47399.1855836985m²