Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80131 / 18901
↖ ↑ ↗
← N 77.792581°
E 40.086365°		 ← 64.58 m → N 77.792581°
E 40.089112°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.792000°
E 40.086365°		 ← 64.59 m →
4 172 m²		 N 77.792000°
E 40.089112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611354827880859 y=0.144207000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611354827880859 × 217)
    floor (0.611354827880859 × 131072)
    floor (80131.5)     		tx = 80131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144207000732422 × 217)
    floor (0.144207000732422 × 131072)
    floor (18901.5)     		ty = 18901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80131 / 18901 ti = "17/80131/18901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80131/18901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80131 ÷ 217
    80131 ÷ 131072     		x = 0.611351013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18901 ÷ 217
    18901 ÷ 131072     		y = 0.144203186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611351013183594 × 2 - 1) × π
    0.222702026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69963905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144203186035156 × 2 - 1) × π
    0.711593627929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23553731378132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69963905} λ = 0.69963905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23553731378132))-π/2
    2×atan(9.3515051951375)-π/2
    2×1.46426649594842-π/2
    2.92853299189684-1.57079632675     		φ = 1.35773667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69963905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.086365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35773667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.792581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80131 KachelY 18901 0.69963905 1.35773667 40.086365 77.792581
    Oben rechts KachelX + 1 80132 KachelY 18901 0.69968699 1.35773667 40.089112 77.792581
    Unten links KachelX 80131 KachelY + 1 18902 0.69963905 1.35772653 40.086365 77.792000
    Unten rechts KachelX + 1 80132 KachelY + 1 18902 0.69968699 1.35772653 40.089112 77.792000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35773667-1.35772653) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35773667-1.35772653) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69963905-0.69968699) × cos(1.35773667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21145135836312 × 6371000     		do = 64.5826876020187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69963905-0.69968699) × cos(1.35772653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211461269071862 × 6371000     		du = 64.5857145875704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35773667)-sin(1.35772653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21145135836312-0.211461269071862)×R²
    abs(0.69968699-0.69963905)×9.91070874267752e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.91070874267752e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.91070874267752e-06×40589641000000     		ar = 4172.26468397656m²