Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80130 / 83680
↖ ↑ ↗
← S 44.527843°
E 40.083618°		 ← 217.74 m → S 44.527843°
E 40.086365°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.529801°
E 40.083618°		 ← 217.73 m →
47 401 m²		 S 44.529801°
E 40.086365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611347198486328 y=0.638431549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611347198486328 × 217)
    floor (0.611347198486328 × 131072)
    floor (80130.5)     		tx = 80130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638431549072266 × 217)
    floor (0.638431549072266 × 131072)
    floor (83680.5)     		ty = 83680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80130 / 83680 ti = "17/80130/83680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80130/83680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80130 ÷ 217
    80130 ÷ 131072     		x = 0.611343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83680 ÷ 217
    83680 ÷ 131072     		y = 0.638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611343383789062 × 2 - 1) × π
    0.222686767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69959111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869767106706299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69959111} λ = 0.69959111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869767106706299))-π/2
    2×atan(0.419049131616543)-π/2
    2×0.396819430584563-π/2
    0.793638861169125-1.57079632675     		φ = -0.77715747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69959111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.083618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77715747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.527843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80130 KachelY 83680 0.69959111 -0.77715747 40.083618 -44.527843
    Oben rechts KachelX + 1 80131 KachelY 83680 0.69963905 -0.77715747 40.086365 -44.527843
    Unten links KachelX 80130 KachelY + 1 83681 0.69959111 -0.77719164 40.083618 -44.529801
    Unten rechts KachelX + 1 80131 KachelY + 1 83681 0.69963905 -0.77719164 40.086365 -44.529801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77715747--0.77719164) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dl = 217.697069999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77715747--0.77719164) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dr = 217.697069999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69959111-0.69963905) × cos(-0.77715747) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712909756087121 × 6371000     		do = 217.74098980649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69959111-0.69963905) × cos(-0.77719164) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.71288579376067 × 6371000     		du = 217.733671095201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77715747)-sin(-0.77719164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712909756087121-0.71288579376067)×R²
    abs(0.69963905-0.69959111)×2.39623264511879e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39623264511879e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39623264511879e-05×40589641000000     		ar = 47400.778873259m²