Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80130 / 82409
↖ ↑ ↗
← S 41.986036°
E 40.083618°		 ← 227.03 m → S 41.986036°
E 40.086365°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 41.988078°
E 40.083618°		 ← 227.02 m →
51 534 m²		 S 41.988078°
E 40.086365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611347198486328 y=0.628734588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611347198486328 × 217)
    floor (0.611347198486328 × 131072)
    floor (80130.5)     		tx = 80130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628734588623047 × 217)
    floor (0.628734588623047 × 131072)
    floor (82409.5)     		ty = 82409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80130 / 82409 ti = "17/80130/82409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80130/82409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80130 ÷ 217
    80130 ÷ 131072     		x = 0.611343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82409 ÷ 217
    82409 ÷ 131072     		y = 0.628730773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611343383789062 × 2 - 1) × π
    0.222686767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69959111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628730773925781 × 2 - 1) × π
    -0.257461547851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.808839307289207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69959111} λ = 0.69959111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808839307289207))-π/2
    2×atan(0.445374709511791)-π/2
    2×0.419000880599541-π/2
    0.838001761199083-1.57079632675     		φ = -0.73279457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69959111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.083618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73279457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.986036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80130 KachelY 82409 0.69959111 -0.73279457 40.083618 -41.986036
    Oben rechts KachelX + 1 80131 KachelY 82409 0.69963905 -0.73279457 40.086365 -41.986036
    Unten links KachelX 80130 KachelY + 1 82410 0.69959111 -0.73283020 40.083618 -41.988078
    Unten rechts KachelX + 1 80131 KachelY + 1 82410 0.69963905 -0.73283020 40.086365 -41.988078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73279457--0.73283020) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dl = 226.998729999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73279457--0.73283020) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dr = 226.998729999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69959111-0.69963905) × cos(-0.73279457) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743307881131546 × 6371000     		do = 227.025359642811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69959111-0.69963905) × cos(-0.73283020) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.74328404599011 × 6371000     		du = 227.0180797771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73279457)-sin(-0.73283020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743307881131546-0.74328404599011)×R²
    abs(0.69963905-0.69959111)×2.38351414361127e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38351414361127e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38351414361127e-05×40589641000000     		ar = 51533.6420619355m²