Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8013 / 3444
↖ ↑ ↗
← N 71.608282°
W  3.933105°		 ← 770.86 m → N 71.608282°
W  3.911133°		 →
↑
771.02 m
↓
↑
771.02 m
↓
N 71.601348°
W  3.933105°		 ← 771.14 m →
594 458 m²		 N 71.601348°
W  3.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489105224609375 y=0.210235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489105224609375 × 214)
    floor (0.489105224609375 × 16384)
    floor (8013.5)     		tx = 8013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210235595703125 × 214)
    floor (0.210235595703125 × 16384)
    floor (3444.5)     		ty = 3444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8013 / 3444 ti = "14/8013/3444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8013/3444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8013 ÷ 214
    8013 ÷ 16384     		x = 0.48907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3444 ÷ 214
    3444 ÷ 16384     		y = 0.210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.0218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06864564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210205078125 × 2 - 1) × π
    0.57958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82083519516821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06864564} λ = -0.06864564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82083519516821))-π/2
    2×atan(6.17701530943211)-π/2
    2×1.41029831424374-π/2
    2.82059662848748-1.57079632675     		φ = 1.24980030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06864564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24980030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8013 KachelY 3444 -0.06864564 1.24980030 -3.933105 71.608282
    Oben rechts KachelX + 1 8014 KachelY 3444 -0.06826215 1.24980030 -3.911133 71.608282
    Unten links KachelX 8013 KachelY + 1 3445 -0.06864564 1.24967928 -3.933105 71.601348
    Unten rechts KachelX + 1 8014 KachelY + 1 3445 -0.06826215 1.24967928 -3.911133 71.601348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24980030-1.24967928) × R
    0.000121019999999916 × 6371000     		dl = 771.018419999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24980030-1.24967928) × R
    0.000121019999999916 × 6371000     		dr = 771.018419999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06864564--0.06826215) × cos(1.24980030) × R
    0.00038349 × 0.315511868334952 × 6371000     		do = 770.863263136489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06864564--0.06826215) × cos(1.24967928) × R
    0.00038349 × 0.315626704519934 × 6371000     		du = 771.143832602062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24980030)-sin(1.24967928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315511868334952-0.315626704519934)×R²
    abs(-0.06826215--0.06864564)×0.000114836184981426×R²
    0.00038349×0.000114836184981426×6371000²
    0.00038349×0.000114836184981426×40589641000000     		ar = 594457.938018783m²