Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80128 / 83734
↖ ↑ ↗
← S 44.633482°
E 40.078125°		 ← 217.35 m → S 44.633482°
E 40.080872°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
S 44.635437°
E 40.078125°		 ← 217.34 m →
47 245 m²		 S 44.635437°
E 40.080872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611331939697266 y=0.638843536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611331939697266 × 217)
    floor (0.611331939697266 × 131072)
    floor (80128.5)     		tx = 80128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638843536376953 × 217)
    floor (0.638843536376953 × 131072)
    floor (83734.5)     		ty = 83734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80128 / 83734 ti = "17/80128/83734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80128/83734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80128 ÷ 217
    80128 ÷ 131072     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83734 ÷ 217
    83734 ÷ 131072     		y = 0.638839721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638839721679688 × 2 - 1) × π
    -0.277679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.872355699285782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872355699285782))-π/2
    2×atan(0.417965786917966)-π/2
    2×0.395897551632078-π/2
    0.791795103264156-1.57079632675     		φ = -0.77900122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77900122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.633482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80128 KachelY 83734 0.69949524 -0.77900122 40.078125 -44.633482
    Oben rechts KachelX + 1 80129 KachelY 83734 0.69954318 -0.77900122 40.080872 -44.633482
    Unten links KachelX 80128 KachelY + 1 83735 0.69949524 -0.77903534 40.078125 -44.635437
    Unten rechts KachelX + 1 80129 KachelY + 1 83735 0.69954318 -0.77903534 40.080872 -44.635437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77900122--0.77903534) × R
    3.41199999999153e-05 × 6371000     		dl = 217.378519999461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77900122--0.77903534) × R
    3.41199999999153e-05 × 6371000     		dr = 217.378519999461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(-0.77900122) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.711615604723847 × 6371000     		do = 217.345722668689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(-0.77903534) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.711591632654589 × 6371000     		du = 217.338400981697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77900122)-sin(-0.77903534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711615604723847-0.711591632654589)×R²
    abs(0.69954318-0.69949524)×2.39720692588596e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39720692588596e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39720692588596e-05×40589641000000     		ar = 47245.4957377072m²