Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80126 / 83679
↖ ↑ ↗
← S 44.525885°
E 40.072632°		 ← 217.70 m → S 44.525885°
E 40.075378°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
S 44.527843°
E 40.072632°		 ← 217.70 m →
47 406 m²		 S 44.527843°
E 40.075378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611316680908203 y=0.638423919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611316680908203 × 217)
    floor (0.611316680908203 × 131072)
    floor (80126.5)     		tx = 80126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638423919677734 × 217)
    floor (0.638423919677734 × 131072)
    floor (83679.5)     		ty = 83679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80126 / 83679 ti = "17/80126/83679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80126/83679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80126 ÷ 217
    80126 ÷ 131072     		x = 0.611312866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83679 ÷ 217
    83679 ÷ 131072     		y = 0.638420104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611312866210938 × 2 - 1) × π
    0.222625732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69939937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638420104980469 × 2 - 1) × π
    -0.276840209960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.869719169806679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69939937} λ = 0.69939937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869719169806679))-π/2
    2×atan(0.419069220014185)-π/2
    2×0.396836518213548-π/2
    0.793673036427096-1.57079632675     		φ = -0.77712329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69939937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.072632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77712329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.525885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80126 KachelY 83679 0.69939937 -0.77712329 40.072632 -44.525885
    Oben rechts KachelX + 1 80127 KachelY 83679 0.69944730 -0.77712329 40.075378 -44.525885
    Unten links KachelX 80126 KachelY + 1 83680 0.69939937 -0.77715747 40.072632 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 80127 KachelY + 1 83680 0.69944730 -0.77715747 40.075378 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77712329--0.77715747) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dl = 217.760779999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77712329--0.77715747) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dr = 217.760779999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69939937-0.69944730) × cos(-0.77712329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712933724593501 × 6371000     		do = 217.702889397466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69939937-0.69944730) × cos(-0.77715747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 217.695570325701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77712329)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712933724593501-0.712909756087121)×R²
    abs(0.69944730-0.69939937)×2.39685063798678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39685063798678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39685063798678e-05×40589641000000     		ar = 47406.3541048364m²