Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80125 / 83705
↖ ↑ ↗
← S 44.576774°
E 40.069885°		 ← 217.56 m → S 44.576774°
E 40.072632°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.578730°
E 40.069885°		 ← 217.55 m →
47 333 m²		 S 44.578730°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611309051513672 y=0.638622283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611309051513672 × 217)
    floor (0.611309051513672 × 131072)
    floor (80125.5)     		tx = 80125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638622283935547 × 217)
    floor (0.638622283935547 × 131072)
    floor (83705.5)     		ty = 83705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80125 / 83705 ti = "17/80125/83705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80125/83705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80125 ÷ 217
    80125 ÷ 131072     		x = 0.611305236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83705 ÷ 217
    83705 ÷ 131072     		y = 0.638618469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611305236816406 × 2 - 1) × π
    0.222610473632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69935143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638618469238281 × 2 - 1) × π
    -0.277236938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.8709655291968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69935143} λ = 0.69935143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8709655291968))-π/2
    2×atan(0.418547234515045)-π/2
    2×0.396392426544345-π/2
    0.79278485308869-1.57079632675     		φ = -0.77801147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69935143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.069885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77801147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.576774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80125 KachelY 83705 0.69935143 -0.77801147 40.069885 -44.576774
    Oben rechts KachelX + 1 80126 KachelY 83705 0.69939937 -0.77801147 40.072632 -44.576774
    Unten links KachelX 80125 KachelY + 1 83706 0.69935143 -0.77804562 40.069885 -44.578730
    Unten rechts KachelX + 1 80126 KachelY + 1 83706 0.69939937 -0.77804562 40.072632 -44.578730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77801147--0.77804562) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77801147--0.77804562) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(-0.77801147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712310623749055 × 6371000     		do = 217.557999368274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(-0.77804562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712286654665919 × 6371000     		du = 217.55067859332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77801147)-sin(-0.77804562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712310623749055-0.712286654665919)×R²
    abs(0.69939937-0.69935143)×2.3969083135178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3969083135178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3969083135178e-05×40589641000000     		ar = 47333.2213926986m²