Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80125 / 83674
↖ ↑ ↗
← S 44.516093°
E 40.069885°		 ← 217.78 m → S 44.516093°
E 40.072632°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
S 44.518052°
E 40.069885°		 ← 217.78 m →
47 424 m²		 S 44.518052°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611309051513672 y=0.638385772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611309051513672 × 217)
    floor (0.611309051513672 × 131072)
    floor (80125.5)     		tx = 80125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638385772705078 × 217)
    floor (0.638385772705078 × 131072)
    floor (83674.5)     		ty = 83674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80125 / 83674 ti = "17/80125/83674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80125/83674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80125 ÷ 217
    80125 ÷ 131072     		x = 0.611305236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83674 ÷ 217
    83674 ÷ 131072     		y = 0.638381958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611305236816406 × 2 - 1) × π
    0.222610473632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69935143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638381958007812 × 2 - 1) × π
    -0.276763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.869479485308579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69935143} λ = 0.69935143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869479485308579))-π/2
    2×atan(0.419169676448298)-π/2
    2×0.396921964974581-π/2
    0.793843929949163-1.57079632675     		φ = -0.77695240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69935143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.069885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77695240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.516093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80125 KachelY 83674 0.69935143 -0.77695240 40.069885 -44.516093
    Oben rechts KachelX + 1 80126 KachelY 83674 0.69939937 -0.77695240 40.072632 -44.516093
    Unten links KachelX 80125 KachelY + 1 83675 0.69935143 -0.77698658 40.069885 -44.518052
    Unten rechts KachelX + 1 80126 KachelY + 1 83675 0.69939937 -0.77698658 40.072632 -44.518052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77695240--0.77698658) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dl = 217.760779999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77695240--0.77698658) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dr = 217.760779999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(-0.77695240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713053547620233 × 6371000     		do = 217.784907441392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(-0.77698658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713029583278393 × 6371000     		du = 217.777588114552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77695240)-sin(-0.77698658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713053547620233-0.713029583278393)×R²
    abs(0.69939937-0.69935143)×2.39643418395996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39643418395996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39643418395996e-05×40589641000000     		ar = 47424.214390185m²