Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80125 / 18894
↖ ↑ ↗
← N 77.796645°
E 40.069885°		 ← 64.56 m → N 77.796645°
E 40.072632°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.796064°
E 40.069885°		 ← 64.56 m →
4 171 m²		 N 77.796064°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611309051513672 y=0.144153594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611309051513672 × 217)
    floor (0.611309051513672 × 131072)
    floor (80125.5)     		tx = 80125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144153594970703 × 217)
    floor (0.144153594970703 × 131072)
    floor (18894.5)     		ty = 18894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80125 / 18894 ti = "17/80125/18894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80125/18894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80125 ÷ 217
    80125 ÷ 131072     		x = 0.611305236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18894 ÷ 217
    18894 ÷ 131072     		y = 0.144149780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611305236816406 × 2 - 1) × π
    0.222610473632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69935143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144149780273438 × 2 - 1) × π
    0.711700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23587287207866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69935143} λ = 0.69935143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23587287207866))-π/2
    2×atan(9.35464369684405)-π/2
    2×1.46430196726099-π/2
    2.92860393452198-1.57079632675     		φ = 1.35780761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69935143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.069885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35780761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.796645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80125 KachelY 18894 0.69935143 1.35780761 40.069885 77.796645
    Oben rechts KachelX + 1 80126 KachelY 18894 0.69939937 1.35780761 40.072632 77.796645
    Unten links KachelX 80125 KachelY + 1 18895 0.69935143 1.35779747 40.069885 77.796064
    Unten rechts KachelX + 1 80126 KachelY + 1 18895 0.69939937 1.35779747 40.072632 77.796064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35780761-1.35779747) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35780761-1.35779747) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(1.35780761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21138202188936 × 6371000     		do = 64.5615104582118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69935143-0.69939937) × cos(1.35779747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211391932750186 × 6371000     		du = 64.5645374902134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35780761)-sin(1.35779747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21138202188936-0.211391932750186)×R²
    abs(0.69939937-0.69935143)×9.91086082516301e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.91086082516301e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.91086082516301e-06×40589641000000     		ar = 4170.89660117199m²