Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80124 / 82647
↖ ↑ ↗
← S 42.470071°
E 40.067139°		 ← 225.29 m → S 42.470071°
E 40.069885°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.472097°
E 40.067139°		 ← 225.28 m →
50 752 m²		 S 42.472097°
E 40.069885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611301422119141 y=0.630550384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611301422119141 × 217)
    floor (0.611301422119141 × 131072)
    floor (80124.5)     		tx = 80124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630550384521484 × 217)
    floor (0.630550384521484 × 131072)
    floor (82647.5)     		ty = 82647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80124 / 82647 ti = "17/80124/82647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80124/82647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80124 ÷ 217
    80124 ÷ 131072     		x = 0.611297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82647 ÷ 217
    82647 ÷ 131072     		y = 0.630546569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611297607421875 × 2 - 1) × π
    0.22259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69930349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630546569824219 × 2 - 1) × π
    -0.261093139648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.820248289398781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69930349} λ = 0.69930349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820248289398781))-π/2
    2×atan(0.440322313569957)-π/2
    2×0.414776877325138-π/2
    0.829553754650276-1.57079632675     		φ = -0.74124257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69930349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74124257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.470071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80124 KachelY 82647 0.69930349 -0.74124257 40.067139 -42.470071
    Oben rechts KachelX + 1 80125 KachelY 82647 0.69935143 -0.74124257 40.069885 -42.470071
    Unten links KachelX 80124 KachelY + 1 82648 0.69930349 -0.74127793 40.067139 -42.472097
    Unten rechts KachelX + 1 80125 KachelY + 1 82648 0.69935143 -0.74127793 40.069885 -42.472097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74124257--0.74127793) × R
    3.53599999999288e-05 × 6371000     		dl = 225.278559999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74124257--0.74127793) × R
    3.53599999999288e-05 × 6371000     		dr = 225.278559999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69930349-0.69935143) × cos(-0.74124257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737630138924495 × 6371000     		do = 225.291231027169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69930349-0.69935143) × cos(-0.74127793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737606263214923 × 6371000     		du = 225.283938770905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74124257)-sin(-0.74127793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737630138924495-0.737606263214923)×R²
    abs(0.69935143-0.69930349)×2.38757095720743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38757095720743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38757095720743e-05×40589641000000     		ar = 50752.4627170114m²