Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80123 / 83733
S 44.631528°
E 40.064392°
← 217.35 m → S 44.631528°
E 40.067139°

217.31 m

217.31 m
S 44.633482°
E 40.064392°
← 217.35 m →
47 233 m²
S 44.633482°
E 40.067139°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611293792724609 y=0.638835906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611293792724609 × 217)
    floor (0.611293792724609 × 131072)
    floor (80123.5)
    tx = 80123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638835906982422 × 217)
    floor (0.638835906982422 × 131072)
    floor (83733.5)
    ty = 83733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80123 / 83733 ti = "17/80123/83733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80123/83733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80123 ÷ 217
    80123 ÷ 131072
    x = 0.611289978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83733 ÷ 217
    83733 ÷ 131072
    y = 0.638832092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.611289978027344 × 2 - 1) × π
    0.222579956054688 × 3.1415926535
    Λ = 0.69925555
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.638832092285156 × 2 - 1) × π
    -0.277664184570312 × 3.1415926535
    Φ = -0.872307762386162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69925555} λ = 0.69925555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872307762386162))-π/2
    2×atan(0.417985823382177)-π/2
    2×0.395914608242144-π/2
    0.791829216484288-1.57079632675
    φ = -0.77896711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69925555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.064392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77896711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.631528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80123 KachelY 83733 0.69925555 -0.77896711 40.064392 -44.631528
    Oben rechts KachelX + 1 80124 KachelY 83733 0.69930349 -0.77896711 40.067139 -44.631528
    Unten links KachelX 80123 KachelY + 1 83734 0.69925555 -0.77900122 40.064392 -44.633482
    Unten rechts KachelX + 1 80124 KachelY + 1 83734 0.69930349 -0.77900122 40.067139 -44.633482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.77896711--0.77900122) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000
    dl = 217.314810000555m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.77896711--0.77900122) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000
    dr = 217.314810000555m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.69925555-0.69930349) × cos(-0.77896711) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.711639568939214 × 6371000
    do = 217.353041956901m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.69925555-0.69930349) × cos(-0.77900122) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.711615604723847 × 6371000
    du = 217.345722668689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.77896711)-sin(-0.77900122))×
    abs(λ12)×abs(0.711639568939214-0.711615604723847)×
    abs(0.69930349-0.69925555)×2.39642153669894e-05×
    4.79400000000796e-05×2.39642153669894e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39642153669894e-05×40589641000000
    ar = 47233.2397255489m²