Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80122 / 83671
↖ ↑ ↗
← S 44.510218°
E 40.061646°		 ← 217.76 m → S 44.510218°
E 40.064392°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
S 44.512176°
E 40.061646°		 ← 217.75 m →
47 419 m²		 S 44.512176°
E 40.064392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611286163330078 y=0.638362884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611286163330078 × 217)
    floor (0.611286163330078 × 131072)
    floor (80122.5)     		tx = 80122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638362884521484 × 217)
    floor (0.638362884521484 × 131072)
    floor (83671.5)     		ty = 83671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80122 / 83671 ti = "17/80122/83671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80122/83671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80122 ÷ 217
    80122 ÷ 131072     		x = 0.611282348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83671 ÷ 217
    83671 ÷ 131072     		y = 0.638359069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611282348632812 × 2 - 1) × π
    0.222564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69920762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638359069824219 × 2 - 1) × π
    -0.276718139648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.869335674609718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69920762} λ = 0.69920762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869335674609718))-π/2
    2×atan(0.419229961867149)-π/2
    2×0.396973239924062-π/2
    0.793946479848125-1.57079632675     		φ = -0.77684985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69920762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.061646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77684985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.510218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80122 KachelY 83671 0.69920762 -0.77684985 40.061646 -44.510218
    Oben rechts KachelX + 1 80123 KachelY 83671 0.69925555 -0.77684985 40.064392 -44.510218
    Unten links KachelX 80122 KachelY + 1 83672 0.69920762 -0.77688403 40.061646 -44.512176
    Unten rechts KachelX + 1 80123 KachelY + 1 83672 0.69925555 -0.77688403 40.064392 -44.512176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77684985--0.77688403) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dl = 217.760779999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77684985--0.77688403) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dr = 217.760779999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69920762-0.69925555) × cos(-0.77684985) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.71312544265776 × 6371000     		do = 217.761432814251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69920762-0.69925555) × cos(-0.77688403) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.71310148081537 × 6371000     		du = 217.754115777416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77684985)-sin(-0.77688403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71312544265776-0.71310148081537)×R²
    abs(0.69925555-0.69920762)×2.39618423896193e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39618423896193e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39618423896193e-05×40589641000000     		ar = 47419.1027863089m²