Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80118 / 83736
↖ ↑ ↗
← S 44.637391°
E 40.050659°		 ← 217.33 m → S 44.637391°
E 40.053406°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
S 44.639346°
E 40.050659°		 ← 217.32 m →
47 228 m²		 S 44.639346°
E 40.053406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611255645751953 y=0.638858795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611255645751953 × 217)
    floor (0.611255645751953 × 131072)
    floor (80118.5)     		tx = 80118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638858795166016 × 217)
    floor (0.638858795166016 × 131072)
    floor (83736.5)     		ty = 83736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80118 / 83736 ti = "17/80118/83736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80118/83736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80118 ÷ 217
    80118 ÷ 131072     		x = 0.611251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83736 ÷ 217
    83736 ÷ 131072     		y = 0.63885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611251831054688 × 2 - 1) × π
    0.222503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69901587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.2777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69901587} λ = 0.69901587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872451573085022))-π/2
    2×atan(0.417925716870887)-π/2
    2×0.395863440135265-π/2
    0.79172688027053-1.57079632675     		φ = -0.77906945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69901587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.050659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77906945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.637391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80118 KachelY 83736 0.69901587 -0.77906945 40.050659 -44.637391
    Oben rechts KachelX + 1 80119 KachelY 83736 0.69906381 -0.77906945 40.053406 -44.637391
    Unten links KachelX 80118 KachelY + 1 83737 0.69901587 -0.77910356 40.050659 -44.639346
    Unten rechts KachelX + 1 80119 KachelY + 1 83737 0.69906381 -0.77910356 40.053406 -44.639346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77906945--0.77910356) × R
    3.41099999999761e-05 × 6371000     		dl = 217.314809999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77906945--0.77910356) × R
    3.41099999999761e-05 × 6371000     		dr = 217.314809999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69901587-0.69906381) × cos(-0.77906945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711567666783088 × 6371000     		do = 217.331081187156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69901587-0.69906381) × cos(-0.77910356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711543700083685 × 6371000     		du = 217.323761140255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77906945)-sin(-0.77910356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711567666783088-0.711543700083685)×R²
    abs(0.69906381-0.69901587)×2.39666994032994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39666994032994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39666994032994e-05×40589641000000     		ar = 47228.4672424488m²