Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80117 / 83717
S 44.600246°
E 40.047912°
← 217.47 m → S 44.600246°
E 40.050659°

217.44 m

217.44 m
S 44.602202°
E 40.047912°
← 217.46 m →
47 286 m²
S 44.602202°
E 40.050659°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611248016357422 y=0.638713836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611248016357422 × 217)
    floor (0.611248016357422 × 131072)
    floor (80117.5)
    tx = 80117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638713836669922 × 217)
    floor (0.638713836669922 × 131072)
    floor (83717.5)
    ty = 83717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80117 / 83717 ti = "17/80117/83717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80117/83717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80117 ÷ 217
    80117 ÷ 131072
    x = 0.611244201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83717 ÷ 217
    83717 ÷ 131072
    y = 0.638710021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.611244201660156 × 2 - 1) × π
    0.222488403320312 × 3.1415926535
    Λ = 0.69896793
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.638710021972656 × 2 - 1) × π
    -0.277420043945312 × 3.1415926535
    Φ = -0.871540771992241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69896793} λ = 0.69896793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871540771992241))-π/2
    2×atan(0.418306537470097)-π/2
    2×0.396187592126565-π/2
    0.792375184253129-1.57079632675
    φ = -0.77842114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69896793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.047912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77842114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.600246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80117 KachelY 83717 0.69896793 -0.77842114 40.047912 -44.600246
    Oben rechts KachelX + 1 80118 KachelY 83717 0.69901587 -0.77842114 40.050659 -44.600246
    Unten links KachelX 80117 KachelY + 1 83718 0.69896793 -0.77845527 40.047912 -44.602202
    Unten rechts KachelX + 1 80118 KachelY + 1 83718 0.69901587 -0.77845527 40.050659 -44.602202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.77842114--0.77845527) × R
    3.41300000000766e-05 × 6371000
    dl = 217.442230000488m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.77842114--0.77845527) × R
    3.41300000000766e-05 × 6371000
    dr = 217.442230000488m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(-0.77842114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712023031212692 × 6371000
    do = 217.470161205037m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(-0.77845527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711999066209955 × 6371000
    du = 217.462841676342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.77842114)-sin(-0.77845527))×
    abs(λ12)×abs(0.712023031212692-0.711999066209955)×
    abs(0.69901587-0.69896793)×2.39650027372695e-05×
    4.79399999999686e-05×2.39650027372695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39650027372695e-05×40589641000000
    ar = 47286.4010282646m²