Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80117 / 82421
↖ ↑ ↗
← S 42.010530°
E 40.047912°		 ← 226.94 m → S 42.010530°
E 40.050659°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
S 42.012570°
E 40.047912°		 ← 226.93 m →
51 485 m²		 S 42.012570°
E 40.050659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611248016357422 y=0.628826141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611248016357422 × 217)
    floor (0.611248016357422 × 131072)
    floor (80117.5)     		tx = 80117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628826141357422 × 217)
    floor (0.628826141357422 × 131072)
    floor (82421.5)     		ty = 82421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80117 / 82421 ti = "17/80117/82421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80117/82421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80117 ÷ 217
    80117 ÷ 131072     		x = 0.611244201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82421 ÷ 217
    82421 ÷ 131072     		y = 0.628822326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611244201660156 × 2 - 1) × π
    0.222488403320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69896793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628822326660156 × 2 - 1) × π
    -0.257644653320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.809414550084648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69896793} λ = 0.69896793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809414550084648))-π/2
    2×atan(0.445118584592943)-π/2
    2×0.418787130482553-π/2
    0.837574260965105-1.57079632675     		φ = -0.73322207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69896793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.047912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73322207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.010530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80117 KachelY 82421 0.69896793 -0.73322207 40.047912 -42.010530
    Oben rechts KachelX + 1 80118 KachelY 82421 0.69901587 -0.73322207 40.050659 -42.010530
    Unten links KachelX 80117 KachelY + 1 82422 0.69896793 -0.73325768 40.047912 -42.012570
    Unten rechts KachelX + 1 80118 KachelY + 1 82422 0.69901587 -0.73325768 40.050659 -42.012570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73322207--0.73325768) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dl = 226.871310000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73322207--0.73325768) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dr = 226.871310000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(-0.73322207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743021837319613 × 6371000     		do = 226.937994499354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(-0.73325768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742998004244474 × 6371000     		du = 226.930715264743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73322207)-sin(-0.73325768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743021837319613-0.742998004244474)×R²
    abs(0.69901587-0.69896793)×2.38330751390903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38330751390903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38330751390903e-05×40589641000000     		ar = 51484.8943815935m²