Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80117 / 18906
↖ ↑ ↗
← N 77.789677°
E 40.047912°		 ← 64.60 m → N 77.789677°
E 40.050659°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.789096°
E 40.047912°		 ← 64.60 m →
4 173 m²		 N 77.789096°
E 40.050659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611248016357422 y=0.144245147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611248016357422 × 217)
    floor (0.611248016357422 × 131072)
    floor (80117.5)     		tx = 80117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144245147705078 × 217)
    floor (0.144245147705078 × 131072)
    floor (18906.5)     		ty = 18906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80117 / 18906 ti = "17/80117/18906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80117/18906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80117 ÷ 217
    80117 ÷ 131072     		x = 0.611244201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18906 ÷ 217
    18906 ÷ 131072     		y = 0.144241333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611244201660156 × 2 - 1) × π
    0.222488403320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69896793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144241333007812 × 2 - 1) × π
    0.711517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23529762928322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69896793} λ = 0.69896793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23529762928322))-π/2
    2×atan(9.34926405290258)-π/2
    2×1.46424115217304-π/2
    2.92848230434609-1.57079632675     		φ = 1.35768598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69896793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.047912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35768598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.789677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80117 KachelY 18906 0.69896793 1.35768598 40.047912 77.789677
    Oben rechts KachelX + 1 80118 KachelY 18906 0.69901587 1.35768598 40.050659 77.789677
    Unten links KachelX 80117 KachelY + 1 18907 0.69896793 1.35767584 40.047912 77.789096
    Unten rechts KachelX + 1 80118 KachelY + 1 18907 0.69901587 1.35767584 40.050659 77.789096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35768598-1.35767584) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35768598-1.35767584) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(1.35768598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211500901915622 × 6371000     		do = 64.5978194782039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69896793-0.69901587) × cos(1.35767584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211510812515664 × 6371000     		du = 64.6008464305556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35768598)-sin(1.35767584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211500901915622-0.211510812515664)×R²
    abs(0.69901587-0.69896793)×9.910600042351e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.910600042351e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.910600042351e-06×40589641000000     		ar = 4173.24223182048m²