Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80116 / 83732
↖ ↑ ↗
← S 44.629573°
E 40.045166°		 ← 217.32 m → S 44.629573°
E 40.047912°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
S 44.631528°
E 40.045166°		 ← 217.31 m →
47 225 m²		 S 44.631528°
E 40.047912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611240386962891 y=0.638828277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611240386962891 × 217)
    floor (0.611240386962891 × 131072)
    floor (80116.5)     		tx = 80116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638828277587891 × 217)
    floor (0.638828277587891 × 131072)
    floor (83732.5)     		ty = 83732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80116 / 83732 ti = "17/80116/83732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80116/83732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80116 ÷ 217
    80116 ÷ 131072     		x = 0.611236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83732 ÷ 217
    83732 ÷ 131072     		y = 0.638824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611236572265625 × 2 - 1) × π
    0.22247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69892000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638824462890625 × 2 - 1) × π
    -0.27764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.872259825486542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69892000} λ = 0.69892000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872259825486542))-π/2
    2×atan(0.418005860806898)-π/2
    2×0.395931665426649-π/2
    0.791863330853298-1.57079632675     		φ = -0.77893300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69892000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.045166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77893300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.629573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80116 KachelY 83732 0.69892000 -0.77893300 40.045166 -44.629573
    Oben rechts KachelX + 1 80117 KachelY 83732 0.69896793 -0.77893300 40.047912 -44.629573
    Unten links KachelX 80116 KachelY + 1 83733 0.69892000 -0.77896711 40.045166 -44.631528
    Unten rechts KachelX + 1 80117 KachelY + 1 83733 0.69896793 -0.77896711 40.047912 -44.631528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77893300--0.77896711) × R
    3.41099999999761e-05 × 6371000     		dl = 217.314809999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77893300--0.77896711) × R
    3.41099999999761e-05 × 6371000     		dr = 217.314809999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69892000-0.69896793) × cos(-0.77893300) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.711663532326594 × 6371000     		do = 217.315020908352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69892000-0.69896793) × cos(-0.77896711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.711639568939214 × 6371000     		du = 217.307703399736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77893300)-sin(-0.77896711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711663532326594-0.711639568939214)×R²
    abs(0.69896793-0.69892000)×2.39633873798661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39633873798661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39633873798661e-05×40589641000000     		ar = 47224.9773819528m²