Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80116 / 82416
↖ ↑ ↗
← S 42.000325°
E 40.045166°		 ← 226.93 m → S 42.000325°
E 40.047912°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 42.002366°
E 40.045166°		 ← 226.92 m →
51 497 m²		 S 42.002366°
E 40.047912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611240386962891 y=0.628787994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611240386962891 × 217)
    floor (0.611240386962891 × 131072)
    floor (80116.5)     		tx = 80116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628787994384766 × 217)
    floor (0.628787994384766 × 131072)
    floor (82416.5)     		ty = 82416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80116 / 82416 ti = "17/80116/82416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80116/82416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80116 ÷ 217
    80116 ÷ 131072     		x = 0.611236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82416 ÷ 217
    82416 ÷ 131072     		y = 0.6287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611236572265625 × 2 - 1) × π
    0.22247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69892000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809174865586548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69892000} λ = 0.69892000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809174865586548))-π/2
    2×atan(0.44522528540424)-π/2
    2×0.418876183032895-π/2
    0.83775236606579-1.57079632675     		φ = -0.73304396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69892000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.045166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73304396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.000325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80116 KachelY 82416 0.69892000 -0.73304396 40.045166 -42.000325
    Oben rechts KachelX + 1 80117 KachelY 82416 0.69896793 -0.73304396 40.047912 -42.000325
    Unten links KachelX 80116 KachelY + 1 82417 0.69892000 -0.73307958 40.045166 -42.002366
    Unten rechts KachelX + 1 80117 KachelY + 1 82417 0.69896793 -0.73307958 40.047912 -42.002366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73304396--0.73307958) × R
    3.5619999999903e-05 × 6371000     		dl = 226.935019999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73304396--0.73307958) × R
    3.5619999999903e-05 × 6371000     		dr = 226.935019999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69892000-0.69896793) × cos(-0.73304396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743141028709716 × 6371000     		do = 226.927053103226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69892000-0.69896793) × cos(-0.73307958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74311719365588 × 6371000     		du = 226.919774782802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73304396)-sin(-0.73307958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743141028709716-0.74311719365588)×R²
    abs(0.69896793-0.69892000)×2.38350538356302e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38350538356302e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38350538356302e-05×40589641000000     		ar = 51496.8694869928m²