Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80115 / 83715
↖ ↑ ↗
← S 44.596335°
E 40.042419°		 ← 217.48 m → S 44.596335°
E 40.045166°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
S 44.598291°
E 40.042419°		 ← 217.48 m →
47 290 m²		 S 44.598291°
E 40.045166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611232757568359 y=0.638698577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611232757568359 × 217)
    floor (0.611232757568359 × 131072)
    floor (80115.5)     		tx = 80115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638698577880859 × 217)
    floor (0.638698577880859 × 131072)
    floor (83715.5)     		ty = 83715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80115 / 83715 ti = "17/80115/83715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80115/83715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80115 ÷ 217
    80115 ÷ 131072     		x = 0.611228942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83715 ÷ 217
    83715 ÷ 131072     		y = 0.638694763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611228942871094 × 2 - 1) × π
    0.222457885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69887206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638694763183594 × 2 - 1) × π
    -0.277389526367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.871444898193001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69887206} λ = 0.69887206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871444898193001))-π/2
    2×atan(0.418346644029644)-π/2
    2×0.396221725451914-π/2
    0.792443450903828-1.57079632675     		φ = -0.77835288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69887206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.042419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77835288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.596335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80115 KachelY 83715 0.69887206 -0.77835288 40.042419 -44.596335
    Oben rechts KachelX + 1 80116 KachelY 83715 0.69892000 -0.77835288 40.045166 -44.596335
    Unten links KachelX 80115 KachelY + 1 83716 0.69887206 -0.77838701 40.042419 -44.598291
    Unten rechts KachelX + 1 80116 KachelY + 1 83716 0.69892000 -0.77838701 40.045166 -44.598291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77835288--0.77838701) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77835288--0.77838701) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69887206-0.69892000) × cos(-0.77835288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712070958729924 × 6371000     		do = 217.484799502454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69887206-0.69892000) × cos(-0.77838701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712046995386024 × 6371000     		du = 217.47748048041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77835288)-sin(-0.77838701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712070958729924-0.712046995386024)×R²
    abs(0.69892000-0.69887206)×2.39633438995357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39633438995357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39633438995357e-05×40589641000000     		ar = 47289.5840672218m²