Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80114 / 82418
↖ ↑ ↗
← S 42.004407°
E 40.039673°		 ← 226.96 m → S 42.004407°
E 40.042419°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 42.006448°
E 40.039673°		 ← 226.95 m →
51 504 m²		 S 42.006448°
E 40.042419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611225128173828 y=0.628803253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611225128173828 × 217)
    floor (0.611225128173828 × 131072)
    floor (80114.5)     		tx = 80114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628803253173828 × 217)
    floor (0.628803253173828 × 131072)
    floor (82418.5)     		ty = 82418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80114 / 82418 ti = "17/80114/82418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80114/82418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80114 ÷ 217
    80114 ÷ 131072     		x = 0.611221313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82418 ÷ 217
    82418 ÷ 131072     		y = 0.628799438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611221313476562 × 2 - 1) × π
    0.222442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69882412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.257598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809270739385788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69882412} λ = 0.69882412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809270739385788))-π/2
    2×atan(0.445182602010753)-π/2
    2×0.418840560298708-π/2
    0.837681120597415-1.57079632675     		φ = -0.73311521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69882412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.039673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73311521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.004407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80114 KachelY 82418 0.69882412 -0.73311521 40.039673 -42.004407
    Oben rechts KachelX + 1 80115 KachelY 82418 0.69887206 -0.73311521 40.042419 -42.004407
    Unten links KachelX 80114 KachelY + 1 82419 0.69882412 -0.73315083 40.039673 -42.006448
    Unten rechts KachelX + 1 80115 KachelY + 1 82419 0.69887206 -0.73315083 40.042419 -42.006448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73311521--0.73315083) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73311521--0.73315083) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69882412-0.69887206) × cos(-0.73311521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743093350967312 × 6371000     		do = 226.959836608122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69882412-0.69887206) × cos(-0.73315083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74306951402753 × 6371000     		du = 226.95255619315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73311521)-sin(-0.73315083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743093350967312-0.74306951402753)×R²
    abs(0.69887206-0.69882412)×2.38369397811411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38369397811411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38369397811411e-05×40589641000000     		ar = 51504.3089747908m²