Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80113 / 83882
↖ ↑ ↗
← S 44.922029°
E 40.036927°		 ← 216.22 m → S 44.922029°
E 40.039673°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.923973°
E 40.036927°		 ← 216.21 m →
46 752 m²		 S 44.923973°
E 40.039673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611217498779297 y=0.639972686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611217498779297 × 217)
    floor (0.611217498779297 × 131072)
    floor (80113.5)     		tx = 80113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639972686767578 × 217)
    floor (0.639972686767578 × 131072)
    floor (83882.5)     		ty = 83882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80113 / 83882 ti = "17/80113/83882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80113/83882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80113 ÷ 217
    80113 ÷ 131072     		x = 0.611213684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83882 ÷ 217
    83882 ÷ 131072     		y = 0.639968872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611213684082031 × 2 - 1) × π
    0.222427368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69877619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639968872070312 × 2 - 1) × π
    -0.279937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87945036042955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69877619} λ = 0.69877619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87945036042955))-π/2
    2×atan(0.415010955448186)-π/2
    2×0.393379507330275-π/2
    0.786759014660549-1.57079632675     		φ = -0.78403731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69877619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.036927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78403731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.922029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80113 KachelY 83882 0.69877619 -0.78403731 40.036927 -44.922029
    Oben rechts KachelX + 1 80114 KachelY 83882 0.69882412 -0.78403731 40.039673 -44.922029
    Unten links KachelX 80113 KachelY + 1 83883 0.69877619 -0.78407125 40.036927 -44.923973
    Unten rechts KachelX + 1 80114 KachelY + 1 83883 0.69882412 -0.78407125 40.039673 -44.923973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78403731--0.78407125) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78403731--0.78407125) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69877619-0.69882412) × cos(-0.78403731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708068394801886 × 6371000     		do = 216.217202415678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69877619-0.69882412) × cos(-0.78407125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708044427871527 × 6371000     		du = 216.209883825171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78403731)-sin(-0.78407125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708068394801886-0.708044427871527)×R²
    abs(0.69882412-0.69877619)×2.39669303584433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39669303584433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39669303584433e-05×40589641000000     		ar = 46752.2306449453m²