Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80113 / 83879
↖ ↑ ↗
← S 44.916194°
E 40.036927°		 ← 216.24 m → S 44.916194°
E 40.039673°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.918139°
E 40.036927°		 ← 216.23 m →
46 757 m²		 S 44.918139°
E 40.039673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611217498779297 y=0.639949798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611217498779297 × 217)
    floor (0.611217498779297 × 131072)
    floor (80113.5)     		tx = 80113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639949798583984 × 217)
    floor (0.639949798583984 × 131072)
    floor (83879.5)     		ty = 83879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80113 / 83879 ti = "17/80113/83879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80113/83879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80113 ÷ 217
    80113 ÷ 131072     		x = 0.611213684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83879 ÷ 217
    83879 ÷ 131072     		y = 0.639945983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611213684082031 × 2 - 1) × π
    0.222427368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69877619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639945983886719 × 2 - 1) × π
    -0.279891967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.87930654973069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69877619} λ = 0.69877619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87930654973069))-π/2
    2×atan(0.415070642755457)-π/2
    2×0.393430423820694-π/2
    0.786860847641389-1.57079632675     		φ = -0.78393548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69877619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.036927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78393548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.916194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80113 KachelY 83879 0.69877619 -0.78393548 40.036927 -44.916194
    Oben rechts KachelX + 1 80114 KachelY 83879 0.69882412 -0.78393548 40.039673 -44.916194
    Unten links KachelX 80113 KachelY + 1 83880 0.69877619 -0.78396942 40.036927 -44.918139
    Unten rechts KachelX + 1 80114 KachelY + 1 83880 0.69882412 -0.78396942 40.039673 -44.918139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78393548--0.78396942) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78393548--0.78396942) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69877619-0.69882412) × cos(-0.78393548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708140297759724 × 6371000     		do = 216.239158848846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69877619-0.69882412) × cos(-0.78396942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708116333276611 × 6371000     		du = 216.231841005635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78393548)-sin(-0.78396942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708140297759724-0.708116333276611)×R²
    abs(0.69882412-0.69877619)×2.3964483113259e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3964483113259e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3964483113259e-05×40589641000000     		ar = 46756.9784035893m²