Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80112 / 83881
↖ ↑ ↗
← S 44.920084°
E 40.034180°		 ← 216.27 m → S 44.920084°
E 40.036927°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.922029°
E 40.034180°		 ← 216.26 m →
46 764 m²		 S 44.922029°
E 40.036927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611209869384766 y=0.639965057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611209869384766 × 217)
    floor (0.611209869384766 × 131072)
    floor (80112.5)     		tx = 80112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639965057373047 × 217)
    floor (0.639965057373047 × 131072)
    floor (83881.5)     		ty = 83881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80112 / 83881 ti = "17/80112/83881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80112/83881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80112 ÷ 217
    80112 ÷ 131072     		x = 0.6112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83881 ÷ 217
    83881 ÷ 131072     		y = 0.639961242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    0.222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69872825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639961242675781 × 2 - 1) × π
    -0.279922485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.87940242352993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69872825} λ = 0.69872825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87940242352993))-π/2
    2×atan(0.415030850263542)-π/2
    2×0.393396478919264-π/2
    0.786792957838527-1.57079632675     		φ = -0.78400337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69872825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78400337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.920084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80112 KachelY 83881 0.69872825 -0.78400337 40.034180 -44.920084
    Oben rechts KachelX + 1 80113 KachelY 83881 0.69877619 -0.78400337 40.036927 -44.920084
    Unten links KachelX 80112 KachelY + 1 83882 0.69872825 -0.78403731 40.034180 -44.922029
    Unten rechts KachelX + 1 80113 KachelY + 1 83882 0.69877619 -0.78403731 40.036927 -44.922029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78400337--0.78403731) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78400337--0.78403731) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69872825-0.69877619) × cos(-0.78400337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708092360916604 × 6371000     		do = 216.269633321159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69872825-0.69877619) × cos(-0.78403731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708068394801886 × 6371000     		du = 216.262313452836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78400337)-sin(-0.78403731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708092360916604-0.708068394801886)×R²
    abs(0.69877619-0.69872825)×2.39661147178882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39661147178882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39661147178882e-05×40589641000000     		ar = 46763.5677329279m²