Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80112 / 82576
↖ ↑ ↗
← S 42.326062°
E 40.034180°		 ← 225.81 m → S 42.326062°
E 40.036927°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
S 42.328093°
E 40.034180°		 ← 225.80 m →
50 984 m²		 S 42.328093°
E 40.036927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611209869384766 y=0.630008697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611209869384766 × 217)
    floor (0.611209869384766 × 131072)
    floor (80112.5)     		tx = 80112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630008697509766 × 217)
    floor (0.630008697509766 × 131072)
    floor (82576.5)     		ty = 82576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80112 / 82576 ti = "17/80112/82576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80112/82576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80112 ÷ 217
    80112 ÷ 131072     		x = 0.6112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82576 ÷ 217
    82576 ÷ 131072     		y = 0.6300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    0.222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69872825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816844769525757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69872825} λ = 0.69872825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816844769525757))-π/2
    2×atan(0.441823512545852)-π/2
    2×0.416033588874915-π/2
    0.832067177749831-1.57079632675     		φ = -0.73872915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69872825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73872915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.326062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80112 KachelY 82576 0.69872825 -0.73872915 40.034180 -42.326062
    Oben rechts KachelX + 1 80113 KachelY 82576 0.69877619 -0.73872915 40.036927 -42.326062
    Unten links KachelX 80112 KachelY + 1 82577 0.69872825 -0.73876459 40.034180 -42.328093
    Unten rechts KachelX + 1 80113 KachelY + 1 82577 0.69877619 -0.73876459 40.036927 -42.328093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73872915--0.73876459) × R
    3.54400000001087e-05 × 6371000     		dl = 225.788240000693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73872915--0.73876459) × R
    3.54400000001087e-05 × 6371000     		dr = 225.788240000693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69872825-0.69877619) × cos(-0.73872915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		do = 225.808848866276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69872825-0.69877619) × cos(-0.73876459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739301017007326 × 6371000     		du = 225.801560202067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73872915)-sin(-0.73876459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739324880956086-0.739301017007326)×R²
    abs(0.69877619-0.69872825)×2.38639487591952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38639487591952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38639487591952e-05×40589641000000     		ar = 50984.1597200002m²