Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80111 / 82291
↖ ↑ ↗
← S 41.744676°
E 40.031433°		 ← 227.88 m → S 41.744676°
E 40.034180°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 41.746726°
E 40.031433°		 ← 227.88 m →
51 932 m²		 S 41.746726°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611202239990234 y=0.627834320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611202239990234 × 217)
    floor (0.611202239990234 × 131072)
    floor (80111.5)     		tx = 80111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627834320068359 × 217)
    floor (0.627834320068359 × 131072)
    floor (82291.5)     		ty = 82291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80111 / 82291 ti = "17/80111/82291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80111/82291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80111 ÷ 217
    80111 ÷ 131072     		x = 0.611198425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82291 ÷ 217
    82291 ÷ 131072     		y = 0.627830505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611198425292969 × 2 - 1) × π
    0.222396850585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69868031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627830505371094 × 2 - 1) × π
    -0.255661010742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.803182753134041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69868031} λ = 0.69868031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803182753134041))-π/2
    2×atan(0.447901134368582)-π/2
    2×0.421107137509028-π/2
    0.842214275018055-1.57079632675     		φ = -0.72858205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69868031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.031433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72858205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.744676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80111 KachelY 82291 0.69868031 -0.72858205 40.031433 -41.744676
    Oben rechts KachelX + 1 80112 KachelY 82291 0.69872825 -0.72858205 40.034180 -41.744676
    Unten links KachelX 80111 KachelY + 1 82292 0.69868031 -0.72861782 40.031433 -41.746726
    Unten rechts KachelX + 1 80112 KachelY + 1 82292 0.69872825 -0.72861782 40.034180 -41.746726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72858205--0.72861782) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72858205--0.72861782) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69868031-0.69872825) × cos(-0.72858205) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.74611924070989 × 6371000     		do = 227.884021222435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69868031-0.69872825) × cos(-0.72861782) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746095424124991 × 6371000     		du = 227.876747024367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72858205)-sin(-0.72861782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74611924070989-0.746095424124991)×R²
    abs(0.69872825-0.69868031)×2.38165848996941e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38165848996941e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38165848996941e-05×40589641000000     		ar = 51931.8134232911m²