Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80109 / 82288
↖ ↑ ↗
← S 41.738529°
E 40.025940°		 ← 227.91 m → S 41.738529°
E 40.028687°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 41.740578°
E 40.025940°		 ← 227.90 m →
51 937 m²		 S 41.740578°
E 40.028687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611186981201172 y=0.627811431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611186981201172 × 217)
    floor (0.611186981201172 × 131072)
    floor (80109.5)     		tx = 80109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627811431884766 × 217)
    floor (0.627811431884766 × 131072)
    floor (82288.5)     		ty = 82288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80109 / 82288 ti = "17/80109/82288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80109/82288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80109 ÷ 217
    80109 ÷ 131072     		x = 0.611183166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82288 ÷ 217
    82288 ÷ 131072     		y = 0.6278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611183166503906 × 2 - 1) × π
    0.222366333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69858444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69858444} λ = 0.69858444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803038942435181))-π/2
    2×atan(0.447965551975595)-π/2
    2×0.421160790042159-π/2
    0.842321580084317-1.57079632675     		φ = -0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69858444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.025940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80109 KachelY 82288 0.69858444 -0.72847475 40.025940 -41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 80110 KachelY 82288 0.69863238 -0.72847475 40.028687 -41.738529
    Unten links KachelX 80109 KachelY + 1 82289 0.69858444 -0.72851052 40.025940 -41.740578
    Unten rechts KachelX + 1 80110 KachelY + 1 82289 0.69863238 -0.72851052 40.028687 -41.740578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72847475--0.72851052) × R
    3.57700000001016e-05 × 6371000     		dl = 227.890670000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72847475--0.72851052) × R
    3.57700000001016e-05 × 6371000     		dr = 227.890670000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69858444-0.69863238) × cos(-0.72847475) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 227.905840033826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69858444-0.69863238) × cos(-0.72851052) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746166864358107 × 6371000     		du = 227.898566710433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72847475)-sin(-0.72851052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746166864358107)×R²
    abs(0.69863238-0.69858444)×2.38137211123757e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38137211123757e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38137211123757e-05×40589641000000     		ar = 51936.785826717m²